Programme MPSI : tous les chapitres maths

Le programme officiel du S1 mêle outils calculatoires (techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral) et premiers chapitres rigoureux : Nombres réels et suites numériques, puis Fonctions d'une variable réelle : limites, continuité, dérivabilité, convexité. La construction de l'intégrale de Riemann, l'analyse asymptotique et le dénombrement, en revanche, sont au S2.

Sommes et produits, coefficients binomiaux, formule du binôme. Nombres complexes : forme algébrique, forme trigonométrique, forme exponentielle, racines n-ièmes de l'unité, équations du second degré dans C. Interprétation géométrique des transformations du plan complexe (translation, rotation, similitude).

Logarithme népérien et exponentielle, fonctions puissances, fonctions hyperboliques (ch, sh, th), réciproques des fonctions trigonométriques (arcsin, arccos, arctan). Étude complète : domaine, dérivée, monotonie, courbe représentative, valeurs remarquables. Les réciproques hyperboliques (argch, argsh, argth) ne sont pas au programme.

Équations linéaires du premier ordre à coefficients continus (résolution par variation de la constante), équations linéaires du second ordre à coefficients constants (équation caractéristique, second membre type exponentielle-polynôme). Le programme ne va pas plus loin sur les équa diff en MPSI : pas de systèmes différentiels, pas d'équations à coefficients non constants en ordre 2.

Primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable. La construction rigoureuse de l'intégrale de Riemann arrive au S2. Au S1, on calcule sans démontrer la définition.

Borne supérieure, partie entière, densité de Q dans R. Définition rigoureuse de la limite d'une suite (epsilon, N), opérations sur les limites, théorème de la limite monotone, suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites récurrentes (u_(n+1) = f(u_n)), suites linéaires d'ordre 2. Les séries numériques attendent le S2, dans le chapitre « Procédés sommatoires discrets ».

Quantificateurs, raisonnement par récurrence, par l'absurde, par contraposée. Ensembles, parties, opérations sur les ensembles. Applications, composition, image directe et image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité. Relations d'équivalence et d'ordre.

Divisibilité, division euclidienne, PGCD, PPCM, théorème de Bézout, lemme de Gauss, nombres premiers, théorème fondamental de l'arithmétique. Congruences, petit théorème de Fermat. Chapitre court mais classique en khôlle.

Introduction aux notions élémentaires de groupes, anneaux et corps. Sous-groupes, morphismes de groupes, image et image réciproque. Structures d'anneau et de corps, anneau intègre, morphisme d'anneaux. Cette section sert de socle pour l'algèbre linéaire de fin de S1 et toute l'algèbre du S2.

Anneau K[X], degré, division euclidienne polynomiale, racines, ordre de multiplicité, polynômes scindés. Relations coefficients-racines, formule de Taylor pour les polynômes. Décomposition en facteurs irréductibles dans R[X] et C[X]. Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles (utile en intégration).

Matrices, opérations, produit matriciel, transposée. Systèmes linéaires, opérations élémentaires sur les lignes (méthode du pivot de Gauss). Matrices inversibles, calcul de l'inverse. Le lien entre matrices et applications linéaires arrive au S2.

Définition d'un K-espace vectoriel, sous-espaces vectoriels, familles libres, génératrices, bases, dimension finie. Le théorème de la base incomplète arrive en début de S2.

Le S2 prolonge l'analyse du S1 (suites, continuité, dérivabilité, déjà traitées rigoureusement) par l'analyse asymptotique, la construction rigoureuse de l'intégrale de Riemann, les procédés sommatoires discrets (dont les séries numériques) et les fonctions de deux variables.

Relations de comparaison : équivalents, négligeabilité (petit o), domination (grand O). Développements limités au voisinage de 0 et au voisinage de l'infini, formule de Taylor-Young. Applications : étude locale, asymptotes, recherche de limites indéterminées.

Construction rigoureuse pour les fonctions continues par morceaux sur un segment (par approximation par fonctions en escalier). Linéarité, positivité, inégalité de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales. Théorème fondamental de l'analyse, sommes de Riemann. Les intégrales impropres attendent la deuxième année.

Séries numériques : définition, convergence, critères pour séries à termes positifs (comparaison, équivalence, règle de d'Alembert), séries de Riemann, séries géométriques. Convergence absolue, semi-convergence, critère spécial des séries alternées. Introduction aux familles sommables pour préparer le programme de deuxième année. Les séries entières et les séries de Fourier, elles, ne sont pas au programme de sup.

Continuité et dérivées partielles d'une fonction de deux variables, gradient, dérivées directionnelles. Le calcul différentiel rigoureux (différentielle, formes différentielles, intégrales curvilignes) n'arrive qu'en deuxième année.

L'algèbre linéaire est le bloc le plus dense du S2 et représente environ un tiers du cours sur l'année. C'est aussi le chapitre le plus exploité aux concours, en particulier à l'X et aux Mines.

Théorème de la base incomplète, dimension, formule de Grassmann (dim de la somme de deux sev), supplémentaires, sommes directes. Ces résultats fondamentaux structurent toute la suite du programme et reviennent en spé.

Définition, noyau, image, théorème du rang. Endomorphismes, isomorphismes. Matrice d'une application linéaire dans des bases données, changement de base, matrices semblables. Le lien entre matrices et applications linéaires devient le pivot du cours.

Ce chapitre se décompose en deux parties. A) Groupe symétrique S_n : transpositions, signature d'une permutation, décomposition en produit de transpositions. B) Déterminants : déterminant d'une matrice carrée, propriétés (multilinéarité alternée, multiplicativité), développement par rapport à une ligne ou colonne, comatrice. Calcul de l'inverse via la comatrice. Caractérisation de l'inversibilité par le déterminant.

Chapitre introduit en vue des probabilités. Cardinaux, principe additif, principe multiplicatif. Arrangements, combinaisons, permutations. Coefficient binomial, formule de Vandermonde, triangle de Pascal. Le cours reste calculatoire, sans passer par les bijections.

Produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité. Bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. La théorie spectrale (matrices symétriques, théorème spectral) est en spé.

Le programme MPSI traite uniquement les probabilités sur un univers fini. Espaces probabilisés finis, équiprobabilité, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, formule de Bayes, indépendance d'événements.

Variables aléatoires discrètes finies, loi, espérance, variance, covariance. Lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale. Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres dans le cas Bernoulli.

Les variables aléatoires discrètes infinies (loi de Poisson, loi géométrique sur N*, séries génératrices) ne sont vues qu'en spé. Pas de probabilités à densité non plus en MPSI.

La géométrie n'est pas un chapitre dédié en MPSI : elle est diffusée dans plusieurs blocs.

Aux concours, la géométrie pure apparaît rarement comme problème complet ; elle sert d'outil dans les sujets de physique et dans les exercices d'algèbre linéaire (matrices de rotation, projecteurs).