Programme MPSI : tous les chapitres maths

Le premier semestre d'analyse pose les outils de calcul. La rigueur formelle (epsilon, suprema, théorèmes d'analyse réelle) arrive au S2. L'objectif du S1 est d'installer les automatismes de calcul indispensables avant d'aborder la théorie.

Sommes et produits, coefficients binomiaux, formule du binôme. Nombres complexes : forme algébrique, forme trigonométrique, forme exponentielle, racines n-ièmes de l'unité, équations du second degré dans C. Interprétation géométrique des transformations du plan complexe (translation, rotation, similitude).

Logarithme népérien et exponentielle, fonctions puissances, fonctions hyperboliques (ch, sh, th), réciproques des fonctions trigonométriques (arcsin, arccos, arctan), réciproques hyperboliques (argch, argsh, argth). Étude complète : domaine, dérivée, monotonie, courbe représentative, valeurs remarquables.

Équations linéaires du premier ordre à coefficients continus (résolution par variation de la constante), équations linéaires du second ordre à coefficients constants (équation caractéristique, second membre type exponentielle-polynôme). Le programme ne va pas plus loin sur les équa diff en MPSI : pas de systèmes différentiels, pas d'équations à coefficients non constants en ordre 2.

Primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable. La construction rigoureuse de l'intégrale de Riemann arrive au S2. Au S1, on calcule sans démontrer la définition.

Quantificateurs, raisonnement par récurrence, par l'absurde, par contraposée. Ensembles, parties, opérations sur les ensembles. Applications, composition, image directe et image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité. Relations d'équivalence et d'ordre.

Divisibilité, division euclidienne, PGCD, PPCM, théorème de Bézout, lemme de Gauss, nombres premiers, théorème fondamental de l'arithmétique. Congruences, petit théorème de Fermat. Chapitre court mais classique en khôlle.

Anneau K[X], degré, division euclidienne polynomiale, racines, ordre de multiplicité, polynômes scindés. Relations coefficients-racines, formule de Taylor pour les polynômes. Décomposition en facteurs irréductibles dans R[X] et C[X]. Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles (utile en intégration).

Matrices, opérations, produit matriciel, transposée. Systèmes linéaires, opérations élémentaires sur les lignes (méthode du pivot de Gauss). Matrices inversibles, calcul de l'inverse. Le lien entre matrices et applications linéaires arrive au S2.

Définition d'un K-espace vectoriel, sous-espaces vectoriels, familles libres, génératrices, bases, dimension finie. Le théorème de la base incomplète arrive en début de S2.

Le S2 est le moment où la rigueur formelle s'installe. Les définitions par epsilon, les théorèmes d'analyse réelle (Bolzano-Weierstrass, valeurs intermédiaires, Rolle, accroissements finis) deviennent le cœur du cours. C'est aussi la partie la plus testée aux concours.

Définition rigoureuse de la limite (epsilon, N), opérations sur les limites, théorème de la limite monotone, suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites récurrentes (u_(n+1) = f(u_n)), suites définies par des relations linéaires d'ordre 2.

Limites de fonctions (définition rigoureuse), continuité, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes sur un segment, continuité uniforme (théorème de Heine). Dérivabilité, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis. Applications : variations, optimisation.

Relations de comparaison : équivalents, négligeabilité (petit o), domination (grand O). Développements limités au voisinage de 0 et au voisinage de l'infini, formule de Taylor-Young. Applications : étude locale, asymptotes, recherche de limites indéterminées.

Construction rigoureuse pour les fonctions continues par morceaux sur un segment (sommes de Darboux). Linéarité, positivité, inégalité de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales. Théorème fondamental de l'analyse, sommes de Riemann. Pas d'intégrale impropre en MPSI : ce chapitre est en spé.

Définition, convergence, critères pour séries à termes positifs (comparaison, équivalence, règle de d'Alembert), séries de Riemann, séries géométriques. Convergence absolue, semi-convergence, critère spécial des séries alternées. Pas de séries entières ni de séries de Fourier en MPSI : c'est un chapitre clé en spé.

Continuité et dérivées partielles d'une fonction de deux variables. Gradient, dérivées directionnelles. Le calcul différentiel rigoureux (différentielle, formes différentielles, intégrales curvilignes) est repoussé en spé.

L'algèbre linéaire est le bloc le plus dense du S2 et représente environ un tiers du cours sur l'année. C'est aussi le chapitre le plus exploité aux concours, en particulier à l'X et aux Mines.

Théorème de la base incomplète, dimension, formule de Grassmann (dim de la somme de deux sev), supplémentaires, sommes directes. Ces résultats fondamentaux structurent toute la suite du programme et reviennent en spé.

Définition, noyau, image, théorème du rang. Endomorphismes, isomorphismes. Matrice d'une application linéaire dans des bases données, changement de base, matrices semblables. Le lien matrices ↔ applications linéaires devient le pivot du cours.

Déterminant d'une matrice carrée, propriétés (multilinéarité alternée, multiplicativité), développement par rapport à une ligne ou une colonne, comatrice. Calcul de l'inverse via la comatrice. Caractérisation de l'inversibilité par le déterminant.

Produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité. Bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. La théorie spectrale (matrices symétriques, théorème spectral) est en spé.

Le programme MPSI traite uniquement les probabilités sur un univers fini. Espaces probabilisés finis, équiprobabilité, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, formule de Bayes, indépendance d'événements.

Variables aléatoires discrètes finies, loi, espérance, variance, covariance. Lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, hypergéométrique. Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres dans le cas Bernoulli.

Les variables aléatoires discrètes infinies (loi de Poisson, loi géométrique sur N*, séries génératrices) ne sont vues qu'en spé. Pas de probabilités à densité non plus en MPSI.

La géométrie n'est pas un chapitre dédié en MPSI : elle est diffusée dans plusieurs blocs.

Aux concours, la géométrie pure apparaît rarement comme problème complet ; elle sert d'outil dans les sujets de physique et dans les exercices d'algèbre linéaire (matrices de rotation, projecteurs).

Le programme officiel marque chaque résultat comme démonstration exigible ou résultat admis. Les colleurs et les concepteurs de sujets piochent en priorité dans la première liste. Voici les démonstrations les plus fréquemment demandées en khôlle.

Plusieurs résultats classiques sont hors programme en MPSI et ne tombent jamais en khôlle :

Connaître la frontière exacte entre exigible et hors programme est un avantage net en khôlle : un colleur consciencieux ne demandera jamais une démonstration hors programme, et savoir le repérer vous évite de paniquer.

Le programme MPSI est dense mais maîtrisable sur dix mois si quelques principes sont respectés dès la rentrée.

Pour relier ce programme à la suite : la tier list des chapitres de spé indique lesquels reposent directement sur les bases MPSI. Et si vous hésitez encore sur la filière, consultez le guide définitif MPSI ou PCSI.