Théorème de Pythagore : formule, démonstration, méthode et exercices corrigés

$a^2 + b^2 = c^2$. Cinq symboles. La formule la plus connue du collège — et l'une des plus profondes de toutes les mathématiques. Tu la rencontres en 4ème, tu la maîtrises en 3ème, tu la retrouves en lycée (trigonométrie, distance dans un repère), et même en prépa scientifique au détour d'un calcul de norme ou d'un produit scalaire. Plutôt que de l'apprendre par cœur, autant la comprendre : sa démonstration visuelle est limpide et tient en deux minutes.

Cet article te donne tout : la formule et son sens géométrique, une démonstration visuelle par puzzle que les Chinois utilisaient déjà au IIIe siècle av. J.-C., la méthode de calcul pas à pas, la réciproque pour démontrer qu'un triangle est rectangle, les triplets pythagoriciens à reconnaître au premier coup d'œil, et 5 exercices corrigés calibrés pour le brevet. Plus la rédaction-type que les correcteurs attendent.

L'énoncé : que dit Pythagore ?

En notation : si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :

Ou de manière plus générique avec $c$ = hypoténuse, $a$ et $b$ = côtés de l'angle droit :

Trois choses à toujours vérifier avant d'écrire la formule :

• Le triangle est-il rectangle ? Cherche le petit carré qui marque l'angle droit. Sans angle droit, pas de Pythagore.
• Quelle est l'hypoténuse ? C'est le côté opposé à l'angle droit — celui qui ne le touche pas. Et c'est toujours le plus long.
• Le carré est sur l'hypoténuse, pas sur les côtés courts. Beaucoup d'élèves écrivent $AB^2 + BC^2 = AC^2$ sans regarder où est l'angle droit. C'est l'erreur n°1 sanctionnée au brevet.

Triangle $ABC$ rectangle en $B$ : trois carrés sur les trois côtés. Le théorème de Pythagore dit que aire(jaune) + aire(bleu) = aire(vert), c'est-à-dire $a^2 + b^2 = c^2$.

Démonstration visuelle : le puzzle des 4 triangles

Cette démonstration est magnifique parce qu'elle ne demande aucun calcul algébrique compliqué — juste de bouger des pièces sur une grille. Elle date du IIIe siècle av. J.-C. (mathématiciens chinois, ouvrage Zhou Bi Suan Jing). Imagine un plateau carré de côté $a + b$, et 4 copies de notre triangle rectangle (côtés $a$, $b$, hypoténuse $c$).

Configuration n°1 · on voit $a^2$ et $b^2$

On dispose les 4 triangles (en corail) dans les rectangles libres haut-gauche et bas-droite du plateau. Au centre apparaissent deux carrés vides colorés : un carré de côté $a$ en haut à droite (aire $a^2$, en jaune) et un carré de côté $b$ en bas à gauche (aire $b^2$, en bleu). La surface non occupée par les triangles vaut donc :

Configuration n°2 · on voit $c^2$

On déplace les mêmes 4 triangles le long des bords du plateau, en effectuant une rotation de 90° entre chaque. Au centre apparaît maintenant un seul carré vide (en vert), tourné, dont les côtés sont les hypoténuses des 4 triangles — donc de longueur $c$ et d'aire $c^2$.

Conclusion : la magie du puzzle

Dans les deux configurations, on a utilisé les mêmes 4 triangles sur le même plateau. Donc la surface occupée par les triangles est identique. Donc la surface vide est identique :

Il existe au total plus de 370 démonstrations connues du théorème de Pythagore (dont une, célèbre, donnée par James Garfield avant qu'il devienne président des États-Unis en 1881). Mais celle du puzzle est de loin la plus pédagogique.

Méthode pour calculer un côté

Cas 1 : on connaît les deux côtés courts, on cherche l'hypoténuse

On applique directement la formule : $c^2 = a^2 + b^2$, puis $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Exemple. Triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calcul de $BC$ :

On reconnaît le triplet pythagoricien (6, 8, 10) — c'est en fait $(3, 4, 5)$ multiplié par 2.

Cas 2 : on connaît l'hypoténuse et un côté court

On isole le côté manquant : $a^2 = c^2 - b^2$, donc $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Exemple. Triangle rectangle d'hypoténuse $13$ cm et un côté de $5$ cm. Le côté manquant :

Triplet $(5, 12, 13)$ classique.

La réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle

Le théorème de Pythagore dit : « si rectangle, alors $a^2 + b^2 = c^2$ ». La réciproque dit le contraire : « si $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est rectangle ». C'est exactement ce qu'il te faut quand l'énoncé te donne 3 longueurs et te demande si le triangle est rectangle.

Méthode en 3 étapes · rédaction brevet

1. Identifier le côté le plus long parmi les 3 mesures données.
2. Calculer séparément le carré du plus long côté, et la somme des carrés des 2 autres.
3. Comparer. Si égaux → rectangle (préciser où est l'angle droit). Si pas égaux → pas rectangle.

Exemple : triangle $ABC$ avec $AB = 13$, $BC = 5$, $AC = 12$

Le plus long côté est $AB$ ($13$). On calcule séparément :

On a bien $AB^2 = BC^2 + AC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ (angle droit en face du plus long côté $AB$).

Les triplets pythagoriciens à connaître

Un triplet pythagoricien est un trio d'entiers $(a, b, c)$ tel que $a^2 + b^2 = c^2$. Reconnaître ces triplets sur un exercice te fait gagner 2 minutes de calcul et te permet de vérifier d'un coup d'œil qu'un triangle est rectangle.

Les Babyloniens (vers 1800 av. J.-C., bien avant Pythagore) en utilisaient déjà — la tablette d'argile Plimpton 322 en liste 15. À retenir absolument :

Au minimum, retiens (3, 4, 5) et (5, 12, 13). Ces deux-là couvrent ~80 % des exercices du brevet. Les charpentiers utilisent encore aujourd'hui le triangle (3, 4, 5) — la « ficelle des bâtisseurs » — pour vérifier qu'un angle est bien droit sur un chantier.

Rédaction-type au brevet

Le correcteur du brevet attend une structure précise. Une bonne réponse mathématique mal rédigée perd la moitié des points. Apprends ce gabarit, applique-le sur tous tes exercices Pythagore.

Cas 1 · calcul de longueur · théorème direct

Cas 2 · démontrer qu'un triangle est rectangle · réciproque

5 erreurs à éviter au brevet

1. Mettre le carré sur le mauvais côté. La formule est $c^2 = a^2 + b^2$ avec $c$ l'hypoténuse, pas n'importe quel côté. Toujours repérer l'angle droit avant d'écrire la formule.
2. Confondre $6^2$ avec $6 \times 2$. Erreur classique en 4ème : $6^2 = 36$, pas $12$. De même, $\sqrt{25} = 5$, pas $12{,}5$.
3. Oublier la racine carrée à la fin. Tu calcules $BC^2 = 100$, et tu écris « donc $BC = 100$ ». Faux. $BC = \sqrt{100} = 10$.
4. Oublier l'unité dans la conclusion. Si l'énoncé dit « cm », ta conclusion doit dire « cm ». Sans unité, le correcteur retire des points même si le calcul est juste.
5. Confondre théorème direct et réciproque. Le théorème direct part de « rectangle », la réciproque arrive à « rectangle ». Si tu cherches une longueur, tu utilises le théorème direct ; si tu démontres qu'un triangle est rectangle à partir de ses 3 côtés, tu utilises la réciproque.

5 exercices corrigés · brevet

Exercice 1 — Calcul d'hypoténuse · 4ème

Énoncé. Triangle $MNP$ rectangle en $N$, avec $MN = 9$ cm et $NP = 12$ cm. Calculer $MP$.

Correction. $MNP$ rectangle en $N$ → l'hypoténuse est $MP$. Théorème de Pythagore :

On reconnaît le triplet $(9, 12, 15) = 3 \times (3, 4, 5)$.

Exercice 2 — Calcul d'un côté de l'angle droit · 4ème

Énoncé. Triangle $ABC$ rectangle en $B$, avec hypoténuse $AC = 17$ cm et $BC = 8$ cm. Calculer $AB$.

Correction. Théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$, donc $AB^2 = AC^2 - BC^2$.

Triplet $(8, 15, 17)$.

Exercice 3 — Réciproque · 3ème

Énoncé. Le triangle $RST$ a pour côtés $RS = 7$ cm, $ST = 24$ cm, $RT = 25$ cm. Est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Correction. Le plus long côté est $RT$ ($25$ cm).

$RT^2 = RS^2 + ST^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $S$ (sommet opposé au plus long côté). Triplet $(7, 24, 25)$.

Exercice 4 — Le triangle n'est PAS rectangle · 3ème

Énoncé. Le triangle $XYZ$ a pour côtés $XY = 4$ cm, $YZ = 6$ cm, $XZ = 8$ cm. Est-il rectangle ?

Correction. Le plus long côté est $XZ$ ($8$ cm).

$XZ^2 \neq XY^2 + YZ^2$ (car $64 \neq 52$). D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $XYZ$ n'est pas rectangle.

Exercice 5 — Problème concret · 3ème · type brevet

Énoncé. Une échelle de $5$ m de long est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à $3$ m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?

Correction. L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle (l'angle droit est au pied du mur). L'échelle est l'hypoténuse ($5$ m), le sol est un côté ($3$ m), le mur est l'autre côté ($h$, hauteur cherchée).

L'échelle touche le mur à $4$ m de hauteur. (On reconnaît le triplet $(3, 4, 5)$ — c'est le triangle rectangle iconique.)

Pour aller plus loin

Pythagore n'est pas qu'un théorème de collège. Tu vas le retrouver tout au long de ta scolarité scientifique :

• Trigonométrie (3ème, lycée). Sinus, cosinus, tangente sont définis dans un triangle rectangle, et la relation $\sin^2 + \cos^2 = 1$ est Pythagore appliqué au cercle trigonométrique.
• Distance dans un repère (lycée). La distance entre deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ vaut $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ — Pythagore appliqué au triangle rectangle de côtés horizontal et vertical.
• Norme d'un vecteur (Terminale, prépa). $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ en dimension 2, $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ en dimension 3 : exactement la même formule.
• Produit scalaire (Terminale, prépa). Le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) généralise Pythagore aux triangles non rectangles : $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$.

Si Pythagore te paraît évident en 3ème, tu auras les bons réflexes dès la classe de seconde. Pour le théorème de Thalès (l'autre pilier de la géométrie au collège), garde un œil sur nos prochains articles méthode. Pour les élèves qui visent une orientation scientifique exigeante, on a aussi écrit un guide sur les spécialités à choisir en Terminale pour intégrer une bonne prépa.

Ce qu'il faut retenir

• Théorème direct : Si triangle rectangle, alors $a^2 + b^2 = c^2$ avec $c$ l'hypoténuse.
• Réciproque : Si $a^2 + b^2 = c^2$ (avec $c$ le plus long), alors le triangle est rectangle.
• Contraposée : Si $a^2 + b^2 \neq c^2$, alors le triangle n'est pas rectangle.
• Démonstration visuelle : 4 triangles + 1 plateau de côté $a + b$, on les déplace, on compare les surfaces vides. Limpide.
• Triplets clés : $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$. À reconnaître au premier coup d'œil.
• Rédaction brevet : on sait que / d'après le théorème / calcul / racine carrée / conclusion avec unité.

Pythagore est l'un de ces théorèmes qu'on rencontre en 4ème, qu'on maîtrise en 3ème, et qu'on retrouve toute sa vie scientifique. Bien le comprendre une fois — démonstration comprise — t'évite des années de manipulation aveugle. Et si tu as bloqué sur un exercice particulier, nos profs Hadamard accompagnent les collégiens en cours particuliers, avec un focus sur la méthode de rédaction au brevet.