Intégration par parties : formule, démonstration, méthode et exercices corrigés

L'intégration par parties (IPP) est la technique qui débloque toutes les intégrales d'un produit de deux fonctions. Polynôme × exponentielle, logarithme seul, exponentielle × cosinus : sans IPP, tu sèches. Avec IPP, tu transfères la dérivation d'un facteur à l'autre — et l'intégrale qui restait te tombe dans la main.

Cet article te donne tout ce qu'il faut pour devenir solide : la formule et son intuition (pourquoi ça marche), la démonstration rigoureuse que tu retrouveras à l'oral en prépa, la méthode pour choisir u et v sans te planter, les cas pièges que les jurys CCS et CCMP sanctionnent chaque année, et 4 exercices corrigés du niveau lycée à la prépa. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes erreurs sur les copies — on les liste pour que tu les évites.

La formule de l'intégration par parties

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$. Alors pour tous $a, b \in I$ :

On lit cette formule comme un transfert de dérivation : à gauche, c'est $u$ qui est dérivée ; à droite, c'est $v$. On a déplacé la dérivation d'un facteur à l'autre, et en compensation un terme de bord apparaît, le crochet $[uv]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$.

Les deux versions de la formule (avec $u'v$ à gauche, ou avec $uv'$ à gauche) sont équivalentes — elles s'obtiennent l'une de l'autre en échangeant les rôles. Pas la peine de mémoriser les deux. Tu retiens une seule version, tu reconnais le motif « dérivée d'un produit intégrée » et tu la retrouves au besoin.

Démonstration · standard en prépa

La démonstration repose sur deux briques : la dérivée d'un produit, et le théorème fondamental de l'analyse. Aucune ruse — c'est pour ça qu'on la voit en MPSI/PCSI dès le chapitre intégration : elle teste que tu maîtrises ces deux outils ensemble.

Hypothèses. $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $u', v'$ sont continues sur $I$ (ce qui rend $u'v$ et $uv'$ continues, donc intégrables). On fixe $a, b \in I$.

Étape 1 — Dérivée du produit. Pour tout $x \in I$, par la formule de dérivation d'un produit :

Étape 2 — On intègre des deux côtés sur $[a, b]$. Par linéarité de l'intégrale :

Étape 3 — Le membre de gauche se calcule. La fonction $uv$ est une primitive de $(uv)'$, donc par le théorème fondamental de l'analyse :

Étape 4 — On isole. En remplaçant et en passant $\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x$ à droite :

Côté oral en prépa, citer les hypothèses précises ($u, v$ dérivables, dérivées continues) est rarement omis avec succès. Aux khôlles et aux oraux des concours, le jury coche cette case : sans hypothèses, pas de points sur la démonstration.

Comment choisir u' et v sans se tromper

Le succès d'une IPP se joue à l'étape 1 : quelle fonction dérive-t-on, laquelle intègre-t-on ? Le principe-cœur tient en une ligne.

Pour aller vite, le moyen mnémotechnique ALPES donne l'ordre de priorité pour $v$ :

• Arctangente — $\arctan(x)$, $\arcsin(x)$, $\arccos(x)$
• Logarithme — $\ln(x)$ et toutes ses variantes
• Polynôme — $x^n$, $P(x)$
• Exponentielle — $e^x$, $a^x$
• Sinus / cosinus — $\sin(x)$, $\cos(x)$

La fonction qui apparaît en premier dans cette liste devient $v$. L'autre devient $u'$.

Cas concrets, à connaître par cœur :

• Polynôme × exponentielle ($\int x\,e^x\,\mathrm{d}x$) : $v =$ polynôme (se simplifie : sa dérivée est de degré inférieur).
• Polynôme × trigonométrique ($\int x\sin(x)\,\mathrm{d}x$) : $v =$ polynôme (idem).
• Logarithme × polynôme ($\int x\ln(x)\,\mathrm{d}x$) : $v = \ln(x)$ (sa dérivée $1/x$ simplifie radicalement).
• Logarithme seul ($\int \ln(x)\,\mathrm{d}x$) : $v = \ln(x)$, $u' = 1$ — la ruse à connaître (voir plus bas).
• Arctangente seule ($\int \arctan(x)\,\mathrm{d}x$) : $v = \arctan(x)$, $u' = 1$ — même mécanique.

L'exemple pivot : $\int t\,e^t\,\mathrm{d}t$

On cherche une primitive de la fonction $t \mapsto t\,e^t$ sur $\mathbb{R}$. Comme la fonction est continue, par le théorème fondamental de l'analyse, une primitive est donnée par $F(x) = \int_0^x t\,e^t\,\mathrm{d}t$ (le choix de la borne 0 est arbitraire).

Identification du piège. On a un produit $t \cdot e^t$. Si le facteur $t$ n'était pas là, on aurait $\int e^t\,\mathrm{d}t = e^t$ trivialement. L'idée : faire disparaître le $t$ en le dérivant. Par ALPES, $t$ (polynôme) prime sur $e^t$ (exponentielle) : on choisit $v(t) = t$.

Mise en place propre. Sur ton brouillon, écris les 4 fonctions en croix :

Les deux fonctions originales ($v(t) = t$ et $u'(t) = e^t$) sont en diagonale du tableau ; les deux après opération ($v'(t) = 1$, $u(t) = e^t$) sont sur l'autre diagonale. C'est la disposition à adopter au brouillon pour ne jamais te tromper.

Vérification des hypothèses. $u, v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et leurs dérivées sont continues sur $\mathbb{R}$. L'IPP s'applique :

Le crochet vaut $[t\,e^t]_0^x = x\,e^x - 0 \cdot e^0 = x\,e^x$. L'intégrale restante se calcule directement : $\int_0^x e^t\,\mathrm{d}t = [e^t]_0^x = e^x - 1$. D'où :

Conclusion : la fonction $t \mapsto (t - 1)\,e^t$ est une primitive de $t \mapsto t\,e^t$ sur $\mathbb{R}$ (la constante additive est libre dans un calcul de primitive).

Trois cas-types à maîtriser

1. Logarithme seul : $\int \ln(x)\,\mathrm{d}x$

$\ln$ n'a pas de « primitive évidente » au sens du tableau de Terminale. Sa dérivée, en revanche, est limpide : $\ln'(x) = 1/x$. La ruse : on écrit $\ln(x) = 1 \cdot \ln(x)$ (produit déguisé) et on choisit $u'(x) = 1$, $v(x) = \ln(x)$. Pour $x > 0$ :

À retenir. Une primitive de $\ln$ sur $]0, +\infty[$ est $x \mapsto x\ln(x) - x$. La même technique (multiplier par 1) fonctionne pour $\arctan$, $\arcsin$, $\arccos$.

2. IPP successives : $\int x^2\,e^x\,\mathrm{d}x$

Quand le polynôme est de degré $\geq 2$, une seule IPP ne suffit pas — il faut en répéter. Première IPP avec $v = x^2$, $u' = e^x$ : $v' = 2x$, $u = e^x$.

Seconde IPP sur $\int 2x\,e^x\,\mathrm{d}x$ avec $v = 2x$, $u' = e^x$ : $v' = 2$, $u = e^x$. On obtient $2x\,e^x - 2\,e^x$. Au total :

Méthode tabulaire (DI table). Pour les IPP successives sur un polynôme, on dresse un tableau : D = dérivées successives de $v$, I = primitives successives de $u'$. On alterne les signes (+, −, +, −…) et on somme les produits en diagonale.

Lecture en diagonale (signe × D-row × I-row-suivante) : $+x^2\,e^x - 2x\,e^x + 2\,e^x + C$. On s'arrête dès que la dérivée devient $0$. Cette méthode est imbattable sur les copies de DS.

3. IPP circulaire : $\int e^x \cos(x)\,\mathrm{d}x$

Cas piège favori des concours : ni le polynôme ni la trigonométrique ne « disparaissent » en dérivant. Deux IPP successives ramènent à l'intégrale de départ — on récupère une équation $I = \cdots - I$ qu'on résout.

Posons $I = \int e^x\cos(x)\,\mathrm{d}x$. Première IPP avec $v = \cos(x)$, $u' = e^x$ : $v' = -\sin(x)$, $u = e^x$.

Seconde IPP sur $J = \int e^x\sin(x)\,\mathrm{d}x$ avec $v = \sin(x)$, $u' = e^x$ : $v' = \cos(x)$, $u = e^x$.

On reporte : $I = e^x\cos(x) + e^x\sin(x) - I$, soit $2I = e^x(\cos(x) + \sin(x))$ et donc :

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS, de khôlles et de concours, les mêmes erreurs reviennent saison après saison autour de l'IPP. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, les listent à leurs élèves dès la première semaine de Sup pour les éliminer tout de suite.

1. Oublier le signe « − » devant la seconde intégrale. L'erreur la plus fréquente. La formule est $[uv] - \int uv'$, pas $[uv] + \int uv'$. Une IPP qui se finit avec un + au lieu d'un − fausse tout le calcul, le jury voit ça en 5 secondes.
2. Mal évaluer le crochet $[uv]_a^b$. Beaucoup d'élèves écrivent $u(b)v(b) - u(a)v(a)$ trop vite et oublient les bornes ou se trompent de borne. Toujours écrire la valeur en $b$ moins la valeur en $a$ ligne par ligne avant de simplifier.
3. Inverser $u'$ et $v$. Symptôme : la nouvelle intégrale est plus complexe que l'originale. Solution : permuter et recommencer. Pas d'acharnement, ALPES n'est qu'une heuristique — il faut savoir pivoter.
4. Oublier les hypothèses dans la rédaction. Sur l'oral du bac et en concours, citer « $u, v$ dérivables sur $I$, dérivées continues » fait gagner les points. Sans ça, le jury considère que tu appliques la formule sans savoir d'où elle vient.
5. Boucler en IPP circulaire avec mauvais choix. Si tu permutes $u'/v$ entre les deux IPP successives (ex : trigo en $v$ d'abord, puis exp en $v$ ensuite), tu retombes sur $I = I$ et tu n'avances pas. Garder le même choix toujours.

4 exercices corrigés · Terminale → MPSI

Exercice 1 — Niveau Terminale spé

Énoncé. Calculer $I = \int_0^1 x\cos(x)\,\mathrm{d}x$.

Solution. Choix : $v = x$ (polynôme prime sur trigo dans ALPES), $u' = \cos(x)$. Donc $v' = 1$, $u = \sin(x)$. Hypothèses vérifiées sur $\mathbb{R}$. IPP :

Numériquement : $I \approx 0{,}3818$.

Exercice 2 — Niveau Terminale spé

Énoncé. Calculer $J = \int_1^e x\,\ln(x)\,\mathrm{d}x$.

Solution. Choix : $v = \ln(x)$ (log prime sur polynôme), $u' = x$. Donc $v' = 1/x$, $u = x^2/2$. Hypothèses vérifiées sur $]0, +\infty[$. IPP :

Or $\int_1^e (x/2)\,\mathrm{d}x = [x^2/4]_1^e = (e^2 - 1)/4$, d'où :

Exercice 3 — Double IPP, niveau Terminale spé / MPSI

Énoncé. Calculer $K = \int_0^\pi x^2\sin(x)\,\mathrm{d}x$.

Solution. Première IPP : $v = x^2$, $u' = \sin(x)$, donc $v' = 2x$, $u = -\cos(x)$.

Seconde IPP sur $\int_0^\pi 2x\cos(x)\,\mathrm{d}x$ : $v = 2x$, $u' = \cos(x)$, donc $v' = 2$, $u = \sin(x)$.

Conclusion : $K = \pi^2 - 4$.

Exercice 4 — MPSI / PCSI · intégrales de Wallis

Énoncé. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(x)\,\mathrm{d}x$. Établir la relation de récurrence : pour $n \geq 2$, $W_n = \frac{n-1}{n}\,W_{n-2}$.

Solution. On écrit $\sin^n(x) = \sin^{n-1}(x) \cdot \sin(x)$. Choix : $v = \sin^{n-1}(x)$, $u' = \sin(x)$. Donc $v' = (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x)$ et $u = -\cos(x)$. Hypothèses OK sur $[0, \pi/2]$. IPP :

Le crochet vaut $0$ (en $\pi/2$ : $\cos = 0$ ; en $0$ : $\sin = 0$ pour $n \geq 2$). On utilise $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ :

D'où $n\,W_n = (n-1)\,W_{n-2}$, soit $W_n = \frac{n-1}{n}\,W_{n-2}$. ☐

Cette relation est la brique de base des intégrales de Wallis, étudiées en MPSI/PCSI au chapitre intégration. Une seule IPP, bien menée, ouvre toute la théorie. Les rapports de jury de l'épreuve Maths I Mines-Ponts MP reviennent régulièrement sur les pièges autour des intégrales paramétrées comme celle-ci.

Ce qu'il faut retenir

• La formule $\int_a^b u'v\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b uv'\,\mathrm{d}x$ — sous hypothèses $u, v$ dérivables et dérivées continues.
• La démonstration en 4 étapes : dérivée d'un produit + intégration + théorème fondamental + isolement. Standard en prépa scientifique.
• Le choix $v =$ fonction qui se simplifie en dérivant ; $u' =$ celle dont une primitive est immédiate. ALPES donne la priorité.
• Les 3 cas-types : $\ln$ seul (multiplier par 1), polynôme × exp/trig (IPP simple ou tabulaire), exp × trig (IPP circulaire avec équation à résoudre).
• Les pièges : signe $-$, crochet aux bornes, inversion $u'/v$, hypothèses oubliées, boucle circulaire incohérente.
• Le réflexe : vérifie ta primitive en la dérivant. 10 secondes qui valident le calcul.

L'IPP n'est pas qu'un outil de bac : elle ouvre tout le chapitre intégration de prépa. Intégrales de Wallis (récurrences trigonométriques), intégrales de Bertrand (convergence par comparaison), formule de Taylor avec reste intégral (analyse), fonctions $\Gamma$ et $\Beta$ (analyse complexe en deuxième année) — toutes reposent sur des IPP bien posées. Maîtriser l'IPP en Terminale, c'est s'épargner mille heures de blocage en Sup.

Pour aller plus loin, consulte notre guide du programme MPSI en maths et notre tier list des chapitres maths spé qui placent l'IPP dans le panorama du programme. Si tu veux travailler les annales, l'épreuve Maths A X-ENS MP regorge d'IPP techniques (ln, trig, polynôme de degré élevé).