Intégrale convergente ou divergente : comment décider ?

1) Étudier les bornes (infini ? singularité ?). 2) Comparer à une intégrale de référence (Riemann, Bertrand). 3) Utiliser l'équivalence ou la domination. 4) Si échec, Cauchy ou intégration par parties.

Intégrales généralisées — cours complet MP/PC/PSI

Comment étendre l'intégrale à des intervalles non bornés ou des fonctions non bornées. Critères de convergence, intégrales de référence, et lien avec les séries.

📘 Définition

Intégrale généralisée

Soit $f$ continue sur $[a, +\infty[$ . L'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ est convergente si $\int_a^X f(t) \, dt$ admet une limite finie quand $X \to +\infty$ . Sinon, elle est divergente.

Définitions analogues pour $]-\infty, b]$ , $]a, b]$ (singularité en $a$ ), etc.

📊 Intégrales de référence

Riemann en $+\infty$ : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}$ converge $\iff \alpha > 1$
Riemann en $0$ : $\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha}$ converge $\iff \alpha < 1$
Exponentielle : $\int_0^{+\infty} e^{-t} \, dt = 1$ ; $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} \, dt$ converge $\iff \alpha > 0$
Intégrale de Gauss : $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi}$

🎯 Critères de convergence

Critère de comparaison (fonctions positives)

Soient $f, g$ positives continues sur $[a, +\infty[$ avec $f \leq g$ à partir d'un certain point.

Si $\int_a^{+\infty} g$ converge, alors $\int_a^{+\infty} f$ converge
Si $\int_a^{+\infty} f$ diverge, alors $\int_a^{+\infty} g$ diverge

Critère d'équivalence

Soient $f, g$ positives continues sur $[a, +\infty[$ avec $f(t) \sim g(t)$ quand $t \to +\infty$ . Alors $\int_a^{+\infty} f$ et $\int_a^{+\infty} g$ sont de même nature.

Convergence d'une intégrale impropre

Étudier la convergence de $I = \int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^3} \, dt$ .

$\frac{\ln t}{t^3} = o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ en $+\infty$ (ln est négligeable devant toute puissance positive). Or $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$ converge (Riemann $\alpha = 2$ ).

Par comparaison, $I$ converge.

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📘 Définition

📊 Intégrales de référence

🎯 Critères de convergence

Convergence d'une intégrale impropre

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