Annales sur Algèbre linéaire, matrices de Toeplitz, circulantes

Au programme

L'algèbre linéaire en CPGE scientifique couvre les espaces vectoriels sur un corps K (ℝ ou ℂ), les applications linéaires et leurs matrices, ainsi que les notions de rang, noyau, image, dimension, base et changement de base. En spé, le BO 2021 distingue les compléments d'algèbre linéaire (sommes directes, projecteurs, polynômes d'endomorphismes) de la réduction des endomorphismes (valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation), qualifiée de « chapitre roi de la spé » dans le programme PC. Programme commun MP/PC/PSI/MPI avec légères variantes par filière.

Pourquoi c'est testé partout

81 sujets de concours dans notre base touchent à l'algèbre linéaire. Mines-Ponts, Centrale-Supélec, CCINP et X-ENS l'utilisent systématiquement. Les pièges récurrents pointés par les jurys :

• Justifier la diagonalisabilité sans démontrer que le polynôme minimal est scindé à racines simples (jury Mines-Ponts MPI 2024 : « il suffisait dans cette question d'invoquer correctement le théorème spectral, ce que n'ont pas fait 41 % des candidats »)
• Oublier le calcul effectif des puissances d'une matrice quand la diagonalisation est faisable (jury CCINP PSI 2016 : « choix de la récurrence sans diagonalisation = perte de temps »)
• Manipuler les sous-espaces stables sans vérifier la stabilité avant d'appliquer un théorème (Mines-Ponts PSI 2020)

Comment réviser

Trois axes priorisés :

1. Maîtriser les théorèmes pivots — formule du rang, base extraite/incomplète, Cayley-Hamilton, théorème spectral — avec leurs hypothèses exactes (la finitude de la dimension est l'oubli n°1 en copie). 2. Pratiquer le calcul matriciel — produit par blocs, déterminants par opérations élémentaires, rang par pivot, similitude vs équivalence. 3. Travailler les sujets d'algèbre les plus testés : Maths II Mines-Ponts PSI 2015 (matrices symplectiques), Maths X-ENS PSI 2024 (réduction spectrale), Maths Mines-Ponts PC 2025 (théorème de Djokovic).