Convergence uniforme vs normale : laquelle est plus forte ?

La convergence normale implique la convergence uniforme. La convergence uniforme implique la convergence simple. Donc normale > uniforme > simple. Le travail en prépa consiste souvent à démontrer la convergence normale (plus facile) puis à utiliser les conséquences de l'uniforme.

Séries de fonctions — cours complet MP/PC/PSI

Un des chapitres clés pour passer à l'analyse hilbertienne et à la résolution d'équations différentielles. Convergence uniforme vs normale, et leurs conséquences sur continuité, dérivabilité, intégration.

📘 Types de convergence

Convergence simple

Une série de fonctions $\sum f_n$ sur $I$ converge simplement vers $S$ si pour tout $x \in I$ , la série numérique $\sum f_n(x)$ converge.

Convergence uniforme

$\sum f_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$ si :

$\sup_{x \in I} |S_n(x) - S(x)| \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty$

où $S_n = \sum_{k=0}^n f_k$ .

Convergence normale

$\sum f_n$ converge normalement sur $I$ si la série numérique $\sum \|f_n\|_\infty$ converge, où $\|f_n\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)|$ .

✅ Conséquences de la convergence uniforme

Théorème de continuité

Si $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$ et chaque $f_n$ est continue, alors $S = \sum f_n$ est continue sur $I$ .

Théorème d'intégration terme à terme

Si $\sum f_n$ converge uniformément sur $[a,b]$ et chaque $f_n$ est continue, alors :

$\int_a^b \left( \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \right) dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \, dx$

Théorème de dérivation terme à terme

Si $\sum f_n$ converge simplement, $\sum f_n'$ converge uniformément, et chaque $f_n$ est $C^1$ , alors $S$ est dérivable et $S' = \sum f_n'$ .

🎯 Exercice d'application

Convergence normale et continuité

Soit $f_n(x) = \frac{1}{n^2 + x^2}$ pour $n \geq 1$ , $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ et que $S = \sum f_n$ est continue.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $|f_n(x)| = \frac{1}{n^2 + x^2} \leq \frac{1}{n^2}$ . Donc $\|f_n\|_\infty \leq \frac{1}{n^2}$ .

$\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann $\alpha = 2 > 1$ ), donc $\sum \|f_n\|_\infty$ converge : convergence normale.

La convergence normale implique la convergence uniforme. Chaque $f_n$ étant continue, $S$ est continue par le théorème de continuité.

Séries de fonctions — cours complet MP/PC/PSI

📘 Types de convergence

✅ Conséquences de la convergence uniforme

🎯 Exercice d'application

Convergence normale et continuité

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Questions fréquentes

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