Pourquoi étudier la topologie en Spé ?

Parce que toutes les notions de convergence, continuité, compacité se généralisent grâce à la topologie. C'est le socle pour étudier les séries de fonctions, les opérateurs linéaires, les espaces de Banach, Hilbert, Sobolev.

Topologie des espaces vectoriels normés — cours MP/PC/PSI

Le langage de l'analyse moderne. Espaces vectoriels normés, ouverts, fermés, compacts : les outils pour étudier continuité, convergence et dimensionnalité en dimension infinie.

📘 Espaces vectoriels normés

Norme

Une norme sur un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ est une application $\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}_+$ vérifiant :

$\|x\| = 0 \iff x = 0$
$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$
$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ (inégalité triangulaire)

Un EVN est un espace vectoriel muni d'une norme.

🔓 Ouverts, fermés, intérieur, adhérence

Ouvert et fermé

Une partie $U \subseteq E$ est ouverte si pour tout $x \in U$ , il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subseteq U$ .

Une partie est fermée si son complémentaire est ouvert, équivalent : toute suite de $F$ qui converge a sa limite dans $F$ .

Boule ouverte vs fermée

Montrer que $B(0, 1) = \{x \in E, \|x\| < 1\}$ est ouverte.

Soit $x \in B(0,1)$ , notons $\|x\| = s < 1$ . Posons $r = 1 - s > 0$ .

Pour tout $y \in B(x, r)$ , $\|y\| \leq \|x\| + \|y - x\| < s + r = 1$ . Donc $y \in B(0, 1)$ .

Conclusion : $B(0, 1)$ est ouverte.

🎯 Compacts

Compact (Borel-Lebesgue)

Une partie $K \subseteq E$ est compacte si de toute suite de $K$ , on peut extraire une sous-suite convergente dans $K$ .

En dimension finie

En dimension finie, une partie est compacte $\iff$ fermée bornée. C'est le théorème de Borel-Lebesgue version EVN.

Attention : en dimension infinie, "fermée bornée" n'implique plus "compact". C'est là qu'apparaissent les différences avec $\mathbb{R}^n$ .

📐 Continuité des applications

Caractérisations de la continuité

Soit $f : E \to F$ . Équivalences :

$f$ est continue en $x_0$ (définition $\varepsilon$ - $\delta$ )
Pour toute suite $x_n \to x_0$ , $f(x_n) \to f(x_0)$
L'image réciproque de tout ouvert est ouverte

La caractérisation séquentielle (suites) est la plus utilisée en pratique — simple et puissante.

Topologie des espaces vectoriels normés — cours MP/PC/PSI

📘 Espaces vectoriels normés

🔓 Ouverts, fermés, intérieur, adhérence

Boule ouverte vs fermée

🎯 Compacts

📐 Continuité des applications

Partager

Autres chapitres

Algèbre linéaire — cours complet MP / PC / PSI

Équations différentielles linéaires — cours complet MP/PC/PSI

Espaces préhilbertiens — cours complet MP/PC/PSI

Questions fréquentes

Progressez plus vite avec un prof particulier