Que signifie le carré ∎ en fin de démonstration ?

Il indique la fin de la démonstration. C'est l'équivalent visuel du Q.E.D. latin (Quod Erat Demonstrandum, « ce qu'il fallait démontrer »), abrégé en CQFD en français. Son nom officiel : tombstone, end-of-proof symbol, ou « halmos » du nom du mathématicien Paul Halmos qui l'a popularisé en 1950.

Qui a inventé le carré de fin de démonstration ?

Paul Halmos l'a introduit dans son livre Measure Theory (Van Nostrand, 1950), avec la phrase explicite dans la préface : « le symbole ∎ est utilisé tout au long de ce livre à la place d'expressions comme Q.E.D. ». Halmos précise dans son autobiographie I Want to Be a Mathematician (1985) qu'il s'est inspiré des fins d'articles dans les magazines populaires américains. Il n'a pas inventé le symbole en soi, mais en a fait une convention mathématique.

CQFD = « Ce Qu'il Fallait Démontrer ». C'est la traduction française du latin Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum). On le trouve à la fin des démonstrations dans les livres et copies français, en alternative au carré ∎. Au lycée et en classes préparatoires, CQFD est encore largement utilisé en rédaction écrite.

Différence entre ∎, □ et ▢ ?

∎ (Unicode U+220E « END OF PROOF ») est le carré plein, version originale Halmos. □ (U+25A1 « WHITE SQUARE ») est le carré vide, équivalent typographique fréquent dans certaines polices. ▢ (U+25A2 « WHITE SQUARE WITH ROUNDED CORNERS ») est une variante. Tous valent un Q.E.D. mathématiquement. En LaTeX : \blacksquare donne ∎, \square donne □, et l'environnement proof de amsthm ferme automatiquement par \qed (= ∎ par défaut).

Le tombstone Halmos est-il utilisé en France ?

Oui, il est universel dans la littérature mathématique mondiale, et largement présent dans les livres et articles français (Bourbaki, polycopiés CPGE, articles publiés). En rédaction de copies, certains professeurs préfèrent encore CQFD écrit en lettres, qui reste accepté et clair. Les deux sont équivalents, ils marquent la fin d'une démonstration.

Le carré ∎ en fin de démo : CQFD, QED, Halmos

Tu ouvres un livre de maths de prépa, tu lis une démonstration, et au bout d'un raisonnement de trois pages tu vois ce petit signe : ∎. Un carré noir, parfois plein, parfois vide. Tu sais qu'il signifie « démonstration terminée », comme un point final renforcé. Ce que tu ignores peut-être, c'est qu'il a un nom (le tombstone, parfois appelé halmos), un inventeur (le mathématicien hongro-américain Paul Halmos), une date (1950), et une histoire qui mêle CQFD, Q.E.D. latin, et… magazines populaires américains.

Cet article retrace cette histoire avec ses sources, distingue les variantes typographiques, donne les conventions LaTeX et explique pourquoi un même signe peut s'écrire ∎, □ ou QED.

Avant le carré · le Q.E.D. et le CQFD

Pendant des siècles, on a marqué la fin d'une démonstration par une phrase latine. La plus célèbre : Q.E.D., abréviation de Quod Erat Demonstrandum, qu'on traduit en français par « Ce Qu'il Fallait Démontrer » : d'où le sigle CQFD qu'on voit encore en copie de DS et au tableau.

L'usage du Q.E.D. remonte à la traduction latine des Éléments d'Euclide (vers 300 av. J.-C.), où le grec « hoper edei deixai » (ὅπερ ἔδει δεῖξαι, « ce qu'il fallait montrer ») clôture les propositions. Les copistes médiévaux européens, qui travaillaient en latin, ont systématisé l'abréviation Q.E.D. à la fin des théorèmes et démonstrations, pratique qui a traversé la Renaissance et persisté dans les écrits mathématiques jusqu'au XXᵉ siècle.

Variantes latines. On rencontre aussi Q.E.F. (Quod Erat Faciendum, « ce qu'il fallait faire ») à la fin des constructions géométriques, et Q.E.I. (Quod Erat Inveniendum, « ce qu'il fallait trouver ») à la fin des résolutions. Ces variantes ont disparu, mais on les croise encore dans les éditions historiques d'Euclide et d'Archimède.

En France au XXᵉ siècle, les rédacteurs de manuels et les correcteurs de concours adoptent CQFD en lettres écrites, pratique qui reste largement répandue dans les copies de bac, de prépa et même de concours. C'est encore aujourd'hui une formule parfaitement reconnue par les jurys.

1950 · Paul Halmos introduit le carré

L'histoire prend un tournant en 1950. Paul Halmos, mathématicien hongro-américain spécialiste de la théorie de la mesure et des espaces de Hilbert, publie chez Van Nostrand un manuel devenu référence : Measure Theory. Dans la préface, il écrit cette phrase qui va changer la typographie mathématique pour les 75 années suivantes :

« The symbol ∎ is used throughout the book in place of such phrases as "Q.E.D." or "This completes the proof of the theorem" to indicate the end of a proof. »

Paul Halmos, Measure Theory, préface, Van Nostrand, 1950

Ce qui frappe, ce n'est pas l'invention d'un nouveau signe, un carré noir n'a rien d'inédit en typographie. C'est l'idée qu'un signe graphique peut remplacer une phrase ou un sigle dans un texte mathématique technique. Halmos en revendique la paternité dans son autobiographie I Want to Be a Mathematician: An Automathography (Springer, 1985), où il raconte avoir cherché un moyen « neat » (élégant, propre) de marquer la fin d'une preuve dense :

« I have to claim credit, however, for one slight innovation in mathematical writing : the use of the symbol ∎ at the end of every proof. […] The symbol is definitely not my invention, it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics. »

Paul Halmos, I Want to Be a Mathematician, 1985

Inspiration : les fins d'articles de magazines populaires américains des années 1940. Beaucoup de magazines plaçaient un petit carré, un losange ou une étoile à la fin d'un article pour signaler au lecteur que le texte se termine et qu'il ne doit pas tourner la page pour chercher une suite. Halmos a transposé cette convention typographique non-mathématique au texte mathématique technique. Le succès a été immédiat : le manuel de Halmos est devenu un classique, le symbole avec.

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∎, □, ▢ · les variantes typographiques

Selon les éditeurs et les polices d'écriture, le symbole apparaît sous plusieurs formes. Toutes valent un Q.E.D., toutes ferment une démonstration. Le tableau Unicode officiel les distingue.

Symbole	Codepoint Unicode	Nom officiel	Usage typique
∎	`U+220E`	END OF PROOF	Carré noir plein, version Halmos originale
□	`U+25A1`	WHITE SQUARE	Carré vide, fréquent dans certaines typographies (LaTeX par défaut)
▢	`U+25A2`	WHITE SQUARE WITH ROUNDED CORNERS	Variante moins fréquente, certaines polices Mac
CQFD	—	Ce Qu'il Fallait Démontrer	Variante française écrite (copies, manuels, tableau)
Q.E.D.	—	Quod Erat Demonstrandum	Variante latine, anglo-saxonne historique

Conventions LaTeX, par ordre de fréquence en publication mathématique :

\blacksquare → $\blacksquare$ (∎ noir plein, version Halmos)
\square → $\square$ (□ blanc, AMS standard)
\qed → ferme automatiquement par $\square$ ou $\blacksquare$ selon le package (amsthm propose les deux)
Environnement proof de amsthm : ferme automatiquement la preuve par \qed à la fin du dernier paragraphe

Astuce LaTeX. Pour placer le carré à la fin de la même ligne qu'une équation ou d'un display $\$ $\dots$$$, utilise \qedhere à l'intérieur de l'équation. Sinon, l'environnement proof place le carré sur une ligne suivante seul, ce qui peut casser la mise en page d'une preuve courte.

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En prépa et au lycée · que mettre en copie ?

À l'écrit, sur copie de DS, de bac ou de concours, les correcteurs français acceptent les deux :

CQFD en lettres capitales, écrit à la main, pratique la plus répandue en France, notamment au bac et en classes préparatoires.
Un petit carré dessiné à la main (rempli ou vide), version copiée sur les livres, plus discrète, parfaitement comprise par les correcteurs habitués aux manuels.

En khôlle au tableau, certains élèves préfèrent dire « CQFD » à voix haute et tracer un trait sous la conclusion, d'autres dessinent un carré et marquent un temps. Les deux fonctionnent, c'est la conclusion explicite de la démonstration qui compte, pas la forme du symbole.

Dans les livres de prépa modernes (Bourbaki, Liret-Martinais, Monier, Demailly, polycopiés des grandes prépas comme Louis-le-Grand ou Henri-IV), c'est le carré ∎ ou □ qui domine. Les profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, ont tous utilisé ce symbole pendant leur préparation, il fait partie du vocabulaire visuel de tout étudiant en classes préparatoires scientifiques.

Exemple complet d'utilisation. Soit à montrer que pour tout réel $x$ , on a $x^2 \geq 0$ .

Démonstration. Si $x \geq 0$ , alors $x^2 = x \cdot x \geq 0$ par produit de deux réels positifs. Si $x < 0$ , alors $-x > 0$ et $x^2 = (-x)^2 \geq 0$ par le cas précédent. Dans les deux cas, $x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . $\qquad\blacksquare$

Quiz · CQFD ou pas ?

Cinq « démonstrations » courtes. Pour chacune, dis si elle se termine vraiment par un CQFD valide ou si quelque chose cloche. Clique sur Voir le verdict pour vérifier.

1. Pour tout entier

n \geq 1

n^2 + n

est pair.

Démonstration. Soit $n \geq 1$ . On a $n^2 + n = n(n+1)$ . Parmi les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ , l'un est pair, l'autre impair. Donc leur produit $n(n+1)$ est pair. ∎

Voir le verdict

✓ CQFD valide

Argument correct : la factorisation $n(n+1)$ , l'observation des parités consécutives, et la conclusion. Aucune étape implicite. Cette démo est typique des QCM de bac et de l'arithmétique de Sup.

2. La fonction

f(x) = x^2

est croissante sur

\mathbb{R}

Démonstration. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2x$ . Pour $x \geq 0$ , on a $f'(x) \geq 0$ , donc $f$ est croissante. ∎

Voir le verdict

✗ Pas un CQFD

La conclusion est fausse : $f(x) = x^2$ est décroissante sur $\mathbb{R}_-$ (par exemple $f(-2) = 4 > 1 = f(-1)$ ). La « démo » traite uniquement le cas $x \geq 0$ et omet $x < 0$ , où $f'(x) < 0$ . Le carré ∎ est donc usurpé. Énoncé correct : $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty, 0]$ .

\sqrt{2}

est irrationnel.

Démonstration. Par l'absurde, supposons $\sqrt{2} = p/q$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$ , $q \neq 0$ et $\gcd(p, q) = 1$ . Alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (un carré pair vient d'un entier pair). Posons $p = 2k$ ; alors $4k^2 = 2q^2$ , soit $q^2 = 2k^2$ , donc $q^2$ pair, donc $q$ pair. Mais alors $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, ce qui contredit $\gcd(p, q) = 1$ . ∎

Voir le verdict

✓ CQFD valide

Démonstration classique d'Euclide par l'absurde, avec hypothèse $\gcd(p, q) = 1$ explicite, équivalence « $p^2$ pair ⟺ $p$ pair » bien utilisée, contradiction obtenue. C'est l'archétype de la preuve par l'absurde au programme du lycée et de la prépa.

4. Pour tout

x \in \mathbb{R}

\ln(x^2) = 2 \ln(x)

Démonstration. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\ln(x^2) = \ln(x \cdot x) = \ln(x) + \ln(x) = 2 \ln(x)$ par la propriété fondamentale du logarithme. ∎

Voir le verdict

✗ Pas un CQFD

Domaine de définition oublié. Le logarithme népérien $\ln$ n'est défini que sur $]0, +\infty[$ . Pour $x < 0$ , $\ln(x)$ n'a pas de sens, donc l'égalité $\ln(x^2) = 2 \ln(x)$ est fausse sur $\mathbb{R}^* \setminus \mathbb{R}_+^*$ . La formule correcte est $\ln(x^2) = 2 \ln(|x|)$ pour tout $x \neq 0$ . Erreur sanctionnée systématiquement par les correcteurs en concours : appliquer une identité hors de son domaine.

5. La somme de deux rationnels est un rationnel.

Démonstration. Soient $r_1, r_2 \in \mathbb{Q}$ . Par définition, il existe $p_1, p_2 \in \mathbb{Z}$ et $q_1, q_2 \in \mathbb{Z}^*$ tels que $r_1 = p_1/q_1$ et $r_2 = p_2/q_2$ . Alors :

$r_1 + r_2 = \dfrac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}$

Le numérateur $p_1 q_2 + p_2 q_1$ est un entier (somme de produits d'entiers) et le dénominateur $q_1 q_2$ est un entier non nul (produit de deux entiers non nuls). Donc $r_1 + r_2 \in \mathbb{Q}$ . ∎

Voir le verdict

✓ CQFD valide

Définition de $\mathbb{Q}$ rappelée explicitement, calcul exact de la somme de fractions, vérification que numérateur et dénominateur restent dans les bons ensembles, et $q_1 q_2 \neq 0$ justifié. Le carré est mérité. C'est exactement le type de démo qu'on rédige aux khôlles de Sup pour montrer la stabilité de $\mathbb{Q}$ par addition.

Score. 5/5 ? tu rédiges déjà comme un taupin. 3-4 ? tu vois les pièges, il faut juste les éviter en copie. Moins de 3 ? Re-lis la section En prépa et au lycée : poser un carré ∎ ne valide rien si la démo est incomplète. Le symbole certifie que tu as voulu conclure ; le correcteur, lui, vérifie que la conclusion est justifiée.

Bonus · l'autre invention de Halmos · « iff »

Le tombstone n'est pas la seule contribution de Halmos à la notation mathématique. Il revendique aussi la paternité de l'abréviation « iff » pour « if and only if » (« si et seulement si » en français), qu'il introduit dans ses ouvrages dès les années 1950.

En français, on écrit toujours « ssi » ou « si et seulement si » en toutes lettres dans la rédaction formelle. Mais dans la littérature mathématique anglophone, iff est omniprésent, un autre cadeau de Halmos à l'écriture mathématique compacte.

Pour en savoir plus sur la vie et l'œuvre de Paul Halmos, consulte notre biographie dédiée, il a aussi été un pionnier de la pédagogie mathématique et a écrit l'un des premiers manuels modernes d'analyse fonctionnelle.

Ce qu'il faut retenir

Le carré ∎ à la fin d'une démonstration s'appelle officiellement tombstone, ou halmos du nom de son introducteur en mathématiques.
Paul Halmos (1916-2006) l'a introduit en 1950 dans son livre Measure Theory chez Van Nostrand. Il s'est inspiré des fins d'articles de magazines populaires américains.
CQFD = Ce Qu'il Fallait Démontrer = traduction française du latin Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum), lui-même traduction du grec d'Euclide « ὅπερ ἔδει δεῖξαι ».
Codepoints Unicode : ∎ U+220E (plein), □ U+25A1 (vide), ▢ U+25A2 (arrondi). Tous équivalents pour fermer une preuve.
LaTeX : \blacksquare, \square, \qed avec amsthm. Astuce \qedhere pour rester sur la même ligne.
En copie : CQFD et carré dessiné sont équivalents et tous deux acceptés au bac, en prépa et en concours. Ce qui compte, c'est de marquer explicitement la fin de la démonstration.
Bonus. Halmos a aussi inventé la notation « iff » pour if and only if en anglais, ssi en français.

Marquer la fin d'une démonstration, c'est plus qu'une convention typographique : c'est un acte de rigueur. Le lecteur, le correcteur, le jury savent où la preuve s'arrête. Ce que Halmos a compris en 1950 et que l'on doit garder en tête à chaque copie, un théorème démontré sans CQFD ni ∎, c'est un raisonnement qui flotte. Une démonstration close par le carré, c'est un théorème acquis.

Le carré ∎ à la fin des démonstrations : CQFD, Q.E.D. et tombstone Halmos

Avant le carré · le Q.E.D. et le CQFD

1950 · Paul Halmos introduit le carré

Progressez en maths avec un prof particulier

∎, □, ▢ · les variantes typographiques

Parlons de votre projet

En prépa et au lycée · que mettre en copie ?

Quiz · CQFD ou pas ?

Bonus · l'autre invention de Halmos · « iff »

Ce qu'il faut retenir

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