Annales sur Séries entières, rayon de convergence, développement

Séries entières

Au programme

Les séries entières en spé couvrent le rayon de convergence (lemme d'Abel, règle de d'Alembert), les opérations (somme, produit de Cauchy), la continuité et la dérivabilité sur le disque ouvert de convergence, et les développements en série entière (DSE) des fonctions usuelles (exp, cos, sin, ln, (1+x)^α). Démonstration exigible : lemme d'Abel pour les séries entières. Programme commun MP, PC, PSI, MPI.

Pourquoi c'est testé

58 sujets de concours dans notre base mobilisent les séries entières. Bloc régulier des épreuves Maths CCINP PSI, Maths 1 Mines-Ponts PSI et Maths 2 Centrale-Supélec PC. Les pièges récurrents pointés par les jurys :

• Définition fausse du rayon de convergence (jury Maths CCINP PSI 2018 : « nombreuses copies définissant le rayon de convergence d'une série entière comme un réel R tel que pour tout x dans ]−R, R[, la série entière converge » — il manque les critères de divergence pour |x| > R)
• Critère d'Alembert appliqué sans vérifier a_n ≠ 0 (jury Maths 1 Centrale-Supélec PC 2024 : « De trop nombreuses réponses proposent d'appliquer le critère de d'Alembert pour les séries entières sans s'assurer que a_n ≠ 0 au moins à partir d'un certain rang »)
• Calculs miraculeusement arrangés pour retrouver le DSE de l'énoncé (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2016 : « presque tous les candidats ont pu écrire le DSE correctement mais que de fois où soudainement, d'une ligne à l'autre, les calculs s'arrangent miraculeusement pour aller chercher le résultat demandé »)
• Méconnaissance des DSE de cours (jury Maths CCINP PSI 2018 : « Le sujet offrait à plusieurs reprises l'opportunité de faire état de ses connaissances de cours, théorème de Cauchy linéaire, rayon de convergence, produit de Cauchy de deux séries entières, développement en séries entières de l'exponentielle et du cosinus hyperbolique. Le constat est inquiétant »)

Comment réviser

Trois axes priorisés :

1. Apprendre les DSE classiques au mot près : exp, cos, sin, ln(1+x), (1+x)^α, avec leur rayon de convergence. 2. Énoncer la définition complète du rayon de convergence (convergence pour |x| < R, divergence pour |x| > R). 3. Travailler les sujets de référence : Maths CCINP PSI 2018 (cours et DSE), Maths 1 Mines-Ponts PSI 2016, Maths 1 Centrale-Supélec PC 2024.