Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.33
Médiane
9.2
Écart-type
4.08
Q1 (25%)
6.4
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 604
sur 3 729 inscrits · 3.4% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Cette épreuve propose d'adapter la méthode de Héron d'Alexandrie à la détermination d'une racine carrée matricielle, dans le cas des matrices symétriques positives, puis des matrices trigonalisables à spectre strictement positif. Quatre parties traitables indépendamment : (I) deux approximations de √2 (série entière de √(1+x) puis méthode de Héron), (II) adaptation de Héron à une matrice symétrique positive, (III) performances numériques de la méthode de Newton-Raphson, (IV) algorithme menant à…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Quelques approximations de √2(Q1-Q12)Niveau attendu
I.A — Via un développement en série entière de (1+x)^α. I.B — Via la méthode de Héron d'Alexandrie (suite c_{n+1}=½(c_n + a/c_n)). I.C — Comparaison des vitesses de convergence (codage Python).
- Partie II — Partie II — Racine carrée d'une matrice symétrique positive(Q13-Q19)Difficile
II.A — Racines carrées de I_2. II.B — Existence et unicité d'une racine carrée symétrique positive (théorème spectral, condition nécessaire et suffisante).
- Partie III — Partie III — Méthode de Newton numérique réelle(Q20-Q25)Difficile
Étude des performances numériques de la méthode de Newton-Raphson, articulation des théorèmes d'analyse de première année (TVI, monotonie, théorème des bornes atteintes), inégalité de Taylor-Lagrange.
- Partie IV — Partie IV — Décomposition de Dunford et racine carrée matricielle(Q26-Q36)Très difficile
Étude partielle d'un algorithme menant à la décomposition de Dunford d'une matrice trigonalisable, utilisé pour déterminer une racine carrée d'une matrice trigonalisable à spectre strictement positif.
Analyse globale du jury
« La sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur deux points : la connaissance (parfois basique) du cours et la qualité du raisonnement, bien plus que sur le volume traité ou l'originalité des idées. Concernant le premier point, à titre d'exemple, la question Q13 (dont la réussite consiste en la restitution sans démonstration des isométries de R²), traitée par la quasi-totalité des candidats, n'a été réussie que par une part minoritaire d'entre eux (47%). La question Q2, demandant de reconnaître sans démonstration le développement en série entière de la fonction x ↦ (1+x)^α, aura été un échec pour plus d'un quart des candidats. Cette année encore, le soin apporté à la qualité des réponses est un facteur plus décisif dans les résultats finaux que la quantité de question… »
Top pièges sanctionnés
Critère d'Alembert appliqué sans vérifier a_n ≠ 0 (Q1)-1 pts
« De trop nombreuses réponses proposent d'appliquer le critère de d'Alembert pour les séries entières sans s'assurer que a_n ≠ 0 au moins à partir d'un certain rang. »
Décroissance d'un équivalent ≠ décroissance de la suite (Q5)-1 pts
« Contrairement à ce qui a été souvent lu, la décroissance d'un équivalent d'une suite n'implique pas la décroissance de cette suite. »
Inclusion vs appartenance — spectre d'une matrice (Q15)-2 pts
« On note de très nombreuses confusions entre inclusion et appartenance. Le spectre d'une matrice réelle peut éventuellement être inclus dans R+, mais ne peut certainement pas lui appartenir. »
Diagonalisation orthogonale non précisée (Q16)-2 pts
« De nombreuses réponses proposent une racine carrée basée sur une diagonalisation de la matrice M, sans préciser que cette diagonalisation a lieu avec une matrice de passage orthogonale. Or ce point est essentiel pour conclure au caractère symétrique de la racine carrée matricielle proposée. »
Inégalité de Taylor-Lagrange peu connue (Q23)-2 pts
« L'inégalité de Taylor-Lagrange est un point de cours très peu su par les candidats. L'inégalité est d'ailleurs souvent confondue avec la formule de Taylor-Young et la formule de Taylor avec reste intégral. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2024 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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