Annales sur Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés

Au programme

La topologie des espaces vectoriels normés en spé couvre les normes (équivalence en dimension finie), les ouverts, fermés, adhérence, intérieur, la compacité (Bolzano-Weierstrass, caractérisation séquentielle), la continuité des applications linéaires, et la complétude. C'est l'un des chapitres ressentis comme les plus difficiles par les élèves. Programme commun MP, PC, PSI ; la MP va plus loin que la PSI sur ce sujet.

Pourquoi c'est testé

48 sujets de concours dans notre base mobilisent la topologie. Mines-Ponts MP s'en sert massivement (souvent en Maths 2), CCINP l'inclut régulièrement. Les pièges récurrents pointés par les jurys :

• Compacité de Sⁿ⁻¹ : trois propriétés non toutes mentionnées (jury Maths 2 Mines-Ponts MP 2015 : « Les trois propriétés requises pour la compacité de Sⁿ⁻¹ (fermé, borné, en dimension finie) n'étaient pas toujours mentionnées ou établies »)
• Rédaction imprécise : valeur absolue, norme infinie, positivité omises (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2017 : « Tout ce qui ne permettait pas de déterminer que le candidat avait pensé à tous ces éléments, entraînait perte partielle ou totale de points »)
• Raisonnement par équivalence ambigu (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2017 : « Encore fallait-il faire un raisonnement par équivalence correct, en tout cas non ambigu. Le correcteur doit décider si le candidat a perçu le besoin de l'équivalence. Et le doute profite rarement au candidat »)

Comment réviser

Trois axes priorisés :

1. Maîtriser la caractérisation séquentielle de la fermeture, de la compacité et de la continuité — c'est l'outil le plus utilisé en copie. 2. Vérifier les trois conditions de compacité en dimension finie (fermé + borné + dim finie) avant d'invoquer Heine ou Bolzano-Weierstrass. 3. Travailler les sujets de référence : Maths 2 Mines-Ponts MP 2015 (compacité, inégalités), Maths 1 Mines-Ponts PSI 2017 (rédaction des majorations).