Quelle différence entre vecteur et matrice ?

Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel — abstrait. Une matrice est une représentation concrète d'une application linéaire dans une base fixée. Une même application a plusieurs matrices (une par base), mais un seul rang, un seul noyau, une seule image.

Algèbre linéaire — cours complet MP / PC / PSI

📘 Pourquoi ce chapitre est fondateur

L'algèbre linéaire est le squelette de tout le programme de Maths Spé. Chaque chapitre majeur — réduction des endomorphismes, endomorphismes normaux, équations différentielles linéaires, séries entières à coefficients matriciels — s'appuie dessus.

Ce cours t'accompagne de la définition d'espace vectoriel jusqu'aux matrices semblables, avec toutes les démonstrations rigoureuses et les pièges classiques des concours.

🧱 Espaces vectoriels

Définition

Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) est un ensemble $E$ muni de deux opérations :

une loi de composition interne (addition) : $+ : E \times E \to E$
une loi externe (multiplication par scalaire) : $\cdot : \mathbb{K} \times E \to E$

vérifiant les 8 axiomes usuels (commutativité/associativité de $+$ , existence d'un neutre $0_E$ , existence d'opposés, distributivité, compatibilité).

Les exemples canoniques en prépa : $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ (fonctions continues), $\mathbb{R}[X]$ (polynômes), $\mathbb{R}[X]_{\leq n}$ (polynômes de degré au plus $n$ ).

Théorème (caractérisation d'un sous-espace vectoriel)

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel. Une partie $F \subseteq E$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si :

$F \neq \emptyset \quad\text{et}\quad \forall (x, y) \in F^2, \forall \lambda \in \mathbb{K},\ x + \lambda y \in F$

(la caractérisation en une condition combine stabilité par addition et par multiplication externe).

Ex

Sous-espace des polynômes pairs

Montrer que $F = \{P \in \mathbb{R}[X] \mid P(-X) = P(X)\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$ .

$0 \in F$ car $0(-X) = 0 = 0(X)$ , donc $F \neq \emptyset$ .
Soient $P, Q \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ . Alors $(P + \lambda Q)(-X) = P(-X) + \lambda Q(-X) = P(X) + \lambda Q(X) = (P + \lambda Q)(X)$ , donc $P + \lambda Q \in F$ .

Par la caractérisation des s.e.v., $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$ .

🔗 Applications linéaires

Définition

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$ -espaces vectoriels. Une application $f : E \to F$ est linéaire si :

$\forall (x, y) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad f(x + \lambda y) = f(x) + \lambda f(y)$

Noyau et image sont les deux objets fondamentaux attachés à toute application linéaire. Maîtrise-les.

Le noyau $\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0\}$ est un s.e.v. de $E$ . L'image $\mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\}$ est un s.e.v. de $F$ .

📐 Rang et dimension

Théorème du rang

Soit $f : E \to F$ une application linéaire entre deux $\mathbb{K}$ -espaces vectoriels de dimension finie. Alors :

$\dim(E) = \dim(\ker f) + \dim(\mathrm{Im}\, f)$

En particulier, $\mathrm{rg}(f) = \dim(\mathrm{Im}\, f) \leq \min(\dim E, \dim F)$ .

Ce théorème est l'un des piliers du programme. Il s'utilise dès qu'on étudie une application linéaire sans savoir explicitement sa matrice.

Ex

Rang d'une composition

Soit $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que $\mathrm{rg}(g \circ f) \leq \min(\mathrm{rg}(f), \mathrm{rg}(g))$ .

$\mathrm{Im}(g \circ f) = g(\mathrm{Im}\, f) \subseteq \mathrm{Im}\, g$ , donc $\mathrm{rg}(g \circ f) \leq \mathrm{rg}(g)$ .
La restriction de $g$ à $\mathrm{Im}\, f$ est une application linéaire $\mathrm{Im}\, f \to \mathrm{Im}(g \circ f)$ surjective. Par le théorème du rang appliqué à cette restriction : $\mathrm{rg}(f) = \dim(\mathrm{Im}\, f) \geq \mathrm{rg}(g \circ f)$ .

D'où l'inégalité cherchée.

🎯 Matrices et changement de base

Une application linéaire $f : E \to F$ (en dimension finie) est déterminée par sa matrice dans des bases données. Le changement de base donne la relation fondamentale :

Formule de changement de base

Si $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ sont deux bases de $E$ et $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ , alors pour tout endomorphisme $f$ de $E$ :

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) \cdot P$

Deux matrices reliées par cette relation sont dites semblables. La similitude est une relation d'équivalence sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ qui est centrale pour la réduction.

⚠️ Pièges classiques des concours

Piège n°1 — dimension ≠ cardinal

La dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une base. Ne jamais confondre avec "nombre d'éléments" (tout espace vectoriel non nul est infini).

Piège n°2 — $f$ injective ⇔ $\ker f = \{0\}$ seulement en linéaire

Cette équivalence N'EST PAS valable pour une application quelconque. Elle tient parce que $f(x) - f(y) = f(x - y)$ — utilise toujours la linéarité pour justifier.

Piège n°3 — matrices semblables vs matrices équivalentes

Semblables : $B = P^{-1} A P$ (même matrice de passage des deux côtés). Équivalentes : $B = Q A P$ (deux matrices différentes). La similitude est plus forte que l'équivalence.

🚀 Pour aller plus loin

Une fois l'algèbre linéaire maîtrisée, tu es prêt pour :

La réduction des endomorphismes — valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, trigonalisation.
Les endomorphismes normaux — spectre d'une matrice symétrique réelle, décomposition polaire.
Les équations différentielles linéaires — l'exponentielle de matrice utilise l'algèbre linéaire en dimension finie.

Notre accompagnement cours particuliers avec des professeurs de l'ENS et de Polytechnique te permet de solidifier ce chapitre tout en avançant sur la suite du programme.

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Questions fréquentes

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