Pourquoi la réduction est-elle un chapitre si important ?

Parce qu'elle intervient partout : équations différentielles linéaires, endomorphismes normaux, séries entières de matrices, probabilités (chaînes de Markov). Ne pas maîtriser la réduction = ne pas maîtriser la moitié du programme.

Diagonalisation ou trigonalisation : quand choisir ?

Toujours essayer d'abord la diagonalisation (plus forte). Si le polynôme caractéristique n'est pas scindé ou s'il y a des valeurs propres avec multiplicités géométriques plus faibles que les algébriques, la diagonalisation échoue et tu passes à la trigonalisation.

Réduction des endomorphismes — cours complet MP/PC/PSI

Le chapitre-clé de Maths Spé. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation : tout ce qu'il faut savoir pour réussir aux concours.

📘 Introduction

La réduction des endomorphismes est le chapitre central de Maths Spé en algèbre linéaire. Son objectif : trouver une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme $f$ prend une forme "la plus simple possible" — idéalement diagonale.

🔑 Valeurs et vecteurs propres

Définition

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ . Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $f$ s'il existe $x \in E$ , $x \neq 0$ , tel que :

$f(x) = \lambda x$

Le vecteur $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ . L'ensemble $E_\lambda = \ker(f - \lambda\,\mathrm{id})$ est le sous-espace propre associé.

Polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique de $f$ (ou de sa matrice $A$ ) est défini par :

$\chi_A(X) = \det(X I_n - A)$

Les racines de $\chi_A$ sont exactement les valeurs propres de $f$ .

✅ Diagonalisation

Théorème de diagonalisation

$f$ est diagonalisable si et seulement si :

Son polynôme caractéristique est scindé dans $\mathbb{K}$
Pour chaque valeur propre $\lambda$ , $\dim E_\lambda = m(\lambda)$ (multiplicité algébrique)

Équivalent : $E = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} E_\lambda$ .

Diagonaliser une matrice 3×3

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Est-elle diagonalisable ?

$\chi_A(X) = (X-2)^2(X-3)$ , scindé.

Pour $\lambda = 2$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , rang 2, donc $\dim E_2 = 1 \neq 2 = m(2)$ .

Conclusion : $A$ n'est pas diagonalisable.

🔺 Trigonalisation

Théorème de trigonalisation

Tout endomorphisme de $E$ dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable : il existe une base $\mathcal{B}$ dans laquelle $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(f)$ est triangulaire supérieure.

En particulier, sur $\mathbb{C}$ , tout endomorphisme est trigonalisable (Cauchy).

La trigonalisation généralise la diagonalisation. Elle est toujours possible sur $\mathbb{C}$ , mais pas toujours sur $\mathbb{R}$ .

📐 Polynôme minimal

Définition

Le polynôme minimal $\pi_f$ de $f$ est le polynôme unitaire de plus petit degré tel que $\pi_f(f) = 0$ .

Propriétés : $\pi_f$ divise tout polynôme annulateur de $f$ . Ses racines sont exactement les valeurs propres.

Caractérisation par le polynôme minimal

$f$ est diagonalisable si et seulement si $\pi_f$ est scindé à racines simples.

Le polynôme minimal est ton couteau suisse pour étudier un endomorphisme. Plus rapide à calculer que le polynôme caractéristique dans certains cas.

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🔑 Valeurs et vecteurs propres

✅ Diagonalisation

Diagonaliser une matrice 3×3

🔺 Trigonalisation

📐 Polynôme minimal

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Questions fréquentes

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