Pourquoi les EDL sont-elles si importantes ?

Presque toute la physique classique se modélise par des EDL : mécanique (lois de Newton → oscillateurs), thermodynamique, électromagnétisme, physique quantique (Schrödinger). Maîtriser les EDL = débloquer la physique.

Équations différentielles linéaires — cours complet MP/PC/PSI

Le chapitre qui relie algèbre linéaire et analyse. Résolution des équations différentielles linéaires, avec applications directes à la physique : oscillateurs, circuits, décroissance radioactive.

📘 EDL d'ordre 1

EDL linéaire du 1er ordre

Une EDL d'ordre 1 s'écrit :

$y' + a(t) y = b(t)$

où $a, b$ sont continues sur $I$ . L'équation homogène associée est $y' + a(t) y = 0$ .

Structure des solutions

L'ensemble des solutions de $y' + a(t) y = b(t)$ sur $I$ est $\{y_p + y_h, y_h \in S_H\}$ , où $y_p$ est une solution particulière et $S_H$ est l'ensemble des solutions de l'équation homogène.

$S_H$ est un espace vectoriel de dimension 1.

Solution homogène : $y_h(t) = C e^{-A(t)}$ où $A$ est une primitive de $a$ . Pour $y_p$ , méthode de variation de la constante.

🎯 EDL d'ordre 2 à coefficients constants

Équation caractéristique

Pour $y'' + p y' + q y = 0$ , on associe l'équation caractéristique $r^2 + p r + q = 0$ .

2 racines réelles distinctes $r_1, r_2$ : $y = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$
Racine double $r$ : $y = (A + Bt) e^{rt}$
2 racines complexes conjuguées $\alpha \pm i\beta$ : $y = e^{\alpha t}(A\cos\beta t + B\sin\beta t)$

Oscillateur amorti

Résoudre $y'' + 2y' + 5y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ .

Équation caractéristique : $r^2 + 2r + 5 = 0$ , $\Delta = -16$ , $r = -1 \pm 2i$ .

$y(t) = e^{-t}(A\cos 2t + B\sin 2t)$

$y(0) = 1$ donne $A = 1$ . $y'(t) = e^{-t}(-\cos 2t + 2\sin 2t \cdot 1 - \sin 2t - 2\cos 2t \cdot B)$ ... à dérouler.

Conditions initiales donnent $A = 1$ , $B = \frac{1}{2}$ .

Solution : $y(t) = e^{-t}(\cos 2t + \frac{1}{2}\sin 2t)$ .

🔨 Méthode de variation de la constante

Pour trouver une solution particulière, on cherche $y_p = C(t) y_h$ en supposant que la "constante" $C$ dépend de $t$ .

La variation de la constante est l'outil universel pour trouver une solution particulière quand aucune méthode astucieuse ne marche.

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📘 EDL d'ordre 1

🎯 EDL d'ordre 2 à coefficients constants

Oscillateur amorti

🔨 Méthode de variation de la constante

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