Formule d'Euler ou de Moivre : laquelle utiliser ?

Euler (e^(iθ) = cos θ + i sin θ) pour les calculs et démonstrations. Moivre ((cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ) pour les formules de linéarisation et calculs de somme de cos/sin. Les deux sont équivalentes.

Nombres complexes — cours complet MPSI/PCSI

Le passage de la Terminale à l'algèbre complexe de prépa. Forme trigonométrique, exponentielle complexe, résolution d'équations, racines n-ièmes : la boîte à outils essentielle.

📘 Formes d'un nombre complexe

Trois formes

Soit $z \in \mathbb{C}$ , $z \neq 0$ .

Forme algébrique : $z = a + ib$ , $a, b \in \mathbb{R}$
Forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$

où $r = |z|$ (module) et $\theta = \arg(z)$ (argument modulo $2\pi$ ).

⭐ Formule d'Euler

Formule d'Euler

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ :

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

En particulier : $e^{i\pi} + 1 = 0$ (l'identité d'Euler, réunit 5 constantes fondamentales).

Formule de Moivre

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

🎯 Racines n-ièmes de l'unité

Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n = 1$ sont exactement les $n$ nombres complexes :

$\omega_k = e^{2i\pi k / n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$

Ils forment un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans le cercle unité.

Racines cubiques de -1

Trouver les solutions de $z^3 = -1$ .

$-1 = e^{i\pi}$ . Les solutions sont $z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/3}$ pour $k = 0, 1, 2$ .

$z_0 = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z_1 = e^{i\pi} = -1$

$z_2 = e^{i 5\pi/3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

📐 Interprétation géométrique

Le plan complexe associe à chaque $z = a + ib$ le point $(a, b)$ . Les opérations géométriques :

Somme : somme vectorielle
Produit par $e^{i\theta}$ : rotation d'angle $\theta$
Produit par $\lambda \in \mathbb{R}$ : homothétie de rapport $\lambda$
Conjugué $\bar z$ : symétrie par rapport à l'axe réel

Les complexes sont l'outil naturel pour la géométrie plane et les rotations. Utilisés partout en physique et en ingénierie.

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Questions fréquentes

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