Quelles dérivées faut-il connaître par cœur ?

Les dérivées des 12 fonctions usuelles : x^n, 1/x, sqrt(x), exp(x), ln(x), sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), sinh/cosh/tanh. Les 5 règles de calcul (somme, produit, quotient, composée, inverse).

Fonctions usuelles et dérivées — cours MPSI/PCSI

La boîte à outils du taupin. Exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques directes et réciproques, hyperboliques : propriétés, dérivées et développements limités.

📘 Exponentielle et logarithme

Définitions

$\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$ , strictement croissante, $\exp(0) = 1$ , $\exp'(x) = \exp(x)$
$\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ , réciproque de exp : $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ , $\ln'(x) = \frac{1}{x}$

Propriétés fondamentales : $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ , $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ , $\exp(\ln x) = x$ pour $x > 0$ , $\ln(\exp x) = x$ .

📐 Trigonométrie

Dérivées trigonométriques

$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

Fonctions réciproques : $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Leurs dérivées :

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pour $|x| < 1$
$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

📊 Développements limités usuels en 0

DL classiques

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$ , $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + o(x^2)$

DL composé

Calculer le DL à l'ordre 3 en 0 de $f(x) = \ln(1 + \sin x)$ .

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + o(u^3)$

Substituer $u = \sin x$ : $f(x) = (x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6})^2 + \frac{1}{3}(x)^3 + o(x^3)$ $= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ $= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

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DL composé

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Questions fréquentes

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