Comment montrer qu'une suite converge ?

4 méthodes principales : 1) Trouver la limite candidate et prouver convergence vers elle, 2) Théorème de la limite monotone (suite croissante majorée), 3) Critère de Cauchy, 4) Encadrement avec le théorème des gendarmes.

Suites numériques — cours complet MPSI/PCSI

Le chapitre fondamental de l'analyse en Sup. Convergence, divergence, suites monotones, suites récurrentes, et tous les théorèmes qui te serviront toute la prépa.

📘 Convergence d'une suite

Limite d'une suite

Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si :

$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - \ell| < \varepsilon$

🎯 Les théorèmes essentiels

Théorème de la limite monotone

Toute suite croissante majorée converge (vers sa borne supérieure). Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$ .

Énoncé analogue pour les suites décroissantes.

Théorème des gendarmes (encadrement)

Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang, et $u_n \to \ell$ , $w_n \to \ell$ , alors $v_n \to \ell$ .

Suite récurrente convergente

Soit $u_0 = 2$ , $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})$ . Montrer que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

Par récurrence, $u_n > 0$ (évident).
$u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{1}{2u_n}(u_n - \sqrt{2})^2 \geq 0$ , donc $u_n \geq \sqrt{2}$ .
$u_{n+1} - u_n = \frac{2 - u_n^2}{2 u_n} \leq 0$ , donc $(u_n)$ est décroissante.
Décroissante minorée par $\sqrt{2}$ → converge.
La limite $\ell$ vérifie $\ell = \frac{1}{2}(\ell + \frac{2}{\ell})$ , soit $\ell^2 = 2$ , donc $\ell = \sqrt{2}$ .

C'est la méthode de Héron pour calculer $\sqrt{2}$ !

🔁 Suites récurrentes

Une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ s'étudie en 4 étapes :

Déterminer un intervalle $I$ stable par $f$
Étudier la monotonie (comparaison $u_{n+1}$ et $u_n$ ou signe de $f(x) - x$ )
Trouver la limite candidate (point fixe $\ell = f(\ell)$ )
Prouver la convergence avec un théorème

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📘 Convergence d'une suite

🎯 Les théorèmes essentiels

Suite récurrente convergente

🔁 Suites récurrentes

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Questions fréquentes

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