Nombres complexes : module, argument et forme exponentielle

Un nombre complexe a trois visages : la forme algébrique $a + ib$, la forme trigonométrique $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ et la forme exponentielle $re^{i\theta}$. Savoir passer de l'une à l'autre, c'est là que tout se joue : la forme algébrique sert à additionner, la forme exponentielle à multiplier, élever à une puissance et prendre des racines. Le pivot entre les deux, ce sont le module et l'argument.

Cet article relie les trois écritures, démontre la forme exponentielle à partir de la formule d'Euler, déroule la formule de Moivre et les formules d'Euler, puis enchaîne les exercices corrigés du niveau maths expertes à la prépa. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient chaque année les mêmes blocages sur l'argument et les puissances : on les désamorce un par un.

La forme algébrique et le module

On introduit un nombre $i$ vérifiant $i^2 = -1$. Un nombre complexe s'écrit alors de façon unique

Le réel $a = \operatorname{Re}(z)$ est la partie réelle, le réel $b = \operatorname{Im}(z)$ la partie imaginaire (attention : c'est le réel $b$, pas $ib$). On représente $z$ par le point $M$ de coordonnées $(a, b)$ dans un repère orthonormé : $z$ est l'affixe de $M$, et le plan est appelé plan complexe.

Le conjugué de $z$ est $\overline{z} = a - ib$ (symétrique de $M$ par rapport à l'axe des réels). Le module de $z$ est le réel positif

c'est la distance $OM$ de l'origine au point d'affixe $z$. On vérifie directement $z\,\overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$, égalité qui sert en permanence.

Argument et forme trigonométrique

Soit $z \neq 0$, de module $r = |z|$. Le point $M$ d'affixe $z$ est à distance $r$ de l'origine : il est donc sur un cercle de rayon $r$, repéré par un angle. Un argument de $z$ est une mesure $\theta$ (en radians) de l'angle entre l'axe des réels et le vecteur $\overrightarrow{OM}$. On note $\theta = \arg(z)$, défini modulo $2\pi$.

En projetant $M$ sur les deux axes, on lit $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$. En reportant dans $z = a + ib$, on obtient la forme trigonométrique :

Pour trouver $\theta$ à partir de $a$ et $b$, on résout le système

Les valeurs d'angles reviennent sans cesse ($\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$…) : avoir le cercle trigonométrique et ses valeurs remarquables en tête est indispensable pour lire un argument de tête.

Forme exponentielle · démonstration

On pose, par définition, la notation d'Euler pour tout réel $\theta$ :

Ce n'est pas un caprice de notation : la fonction $\theta \mapsto \cos\theta + i\sin\theta$ se comporte exactement comme une exponentielle. Vérifions la propriété qui justifie le symbole $e$, la transformation d'un produit en somme des angles.

Étape 1, on multiplie. Pour deux réels $\theta$ et $\theta'$ :

Étape 2, on reconnaît les formules d'addition. La partie réelle est $\cos(\theta+\theta')$, la partie imaginaire $\sin(\theta+\theta')$. Donc :

La notation $e^{i\theta}$ respecte donc la règle $e^{x}e^{y} = e^{x+y}$ de l'exponentielle réelle. On peut alors écrire tout complexe non nul $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ sous forme exponentielle :

Formules de Moivre et d'Euler

Deux formules découlent directement de $e^{i\theta}$, et ce sont les plus rentables aux concours.

La formule de Moivre

En appliquant $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$ à $n$ facteurs identiques, on obtient $\bigl(e^{i\theta}\bigr)^n = e^{in\theta}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$, soit :

C'est l'outil pour élever un complexe à une puissance : on passe en forme exponentielle, on élève le module à la puissance $n$ et on multiplie l'argument par $n$. Développer $(a+ib)^n$ à la main est presque toujours une erreur de stratégie.

Les formules d'Euler

En additionnant et en soustrayant $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$, on isole cosinus et sinus :

L'exemple pivot : mettre $1 + i$ sous forme exponentielle

Soit $z = 1 + i$. On veut son écriture $r\,e^{i\theta}$. La méthode tient en deux calculs : le module, puis l'argument.

Module. Ici $a = 1$ et $b = 1$, donc

Argument. On résout le système avec $r = \sqrt{2}$ :

Les deux valeurs sont positives et égales : le point est sur la première bissectrice, donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ (à $2\pi$ près). On dispose le calcul en tableau pour ne rien oublier :

Conclusion : $z = 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. On vérifie en développant : $\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\bigr) = \sqrt{2}\bigl(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = 1 + i$. ✓

Trois usages à maîtriser

1. Puissances avec Moivre

Pour $(1+i)^{8}$, on passe en exponentielle : $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. Par Moivre,

Huit multiplications évitées : la forme exponentielle réduit la puissance à une multiplication d'angle.

2. Linéarisation avec Euler

Pour intégrer ou étudier $\cos^n\theta$, on le réécrit en somme de cosinus d'angles multiples grâce aux formules d'Euler (exercice 3 plus bas). Réflexe : $\cos^n$ ou $\sin^n$ à intégrer $\Rightarrow$ Euler puis développement.

3. Géométrie : rotations et distances

Multiplier par $e^{i\alpha}$ revient à tourner d'un angle $\alpha$ autour de l'origine (module inchangé, argument $+\,\alpha$). La distance entre les points d'affixes $z_A$ et $z_B$ est $|z_B - z_A|$, et l'angle $\bigl(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\bigr)$ vaut $\arg\!\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$. Le tableau résume les correspondances algèbre / géométrie.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS, de khôlles et de concours, les mêmes fautes reviennent autour des complexes. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, les listent dès le chapitre pour les éliminer tout de suite.

1. Confondre partie imaginaire et $ib$. La partie imaginaire de $z = a + ib$ est le réel $b$, pas $ib$. $\operatorname{Im}(3 - 5i) = -5$, pas $-5i$.
2. Trouver l'argument avec la seule tangente. $\tan\theta = b/a$ ne distingue pas $\theta$ de $\theta + \pi$. Sans les signes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$, tu te trompes de demi-tour. Passe toujours par le système complet.
3. Oublier que l'argument est défini modulo $2\pi$. Un complexe non nul a une infinité d'arguments, tous égaux à $2\pi$ près. Écrire « $\arg(z) = \pi/4$ » sans le « $[2\pi]$ » coûte des points en rédaction rigoureuse. Et $z = 0$ n'a pas d'argument.
4. Développer $(a+ib)^n$ au binôme. Techniquement possible, stratégiquement suicidaire dès $n \geq 3$. Passe en forme exponentielle et applique Moivre.
5. Se tromper de signe sur le conjugué d'un produit. On a $\overline{z z'} = \overline{z}\,\overline{z'}$ et $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ : le conjugué se distribue. Mais $\overline{z} \neq -z$ en général, et $|z|^2 = z\overline{z}$, pas $z^2$.

4 exercices corrigés · maths expertes → MPSI

Exercice 1, forme exponentielle · niveau maths expertes

Énoncé. Mettre $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.

Solution. Module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$. Argument : $\cos\theta = -\tfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le cosinus est négatif, le sinus positif : $\theta$ est dans le deuxième quadrant, donc $\theta = \tfrac{2\pi}{3}$. Ainsi :

Exercice 2, puissance par Moivre · niveau maths expertes

Énoncé. Calculer $\bigl(1 + i\sqrt{3}\bigr)^{6}$.

Solution. On met en forme exponentielle : $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\cos\theta = \tfrac{1}{2}$, $\sin\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta = \tfrac{\pi}{3}$ et $1 + i\sqrt{3} = 2\,e^{i\pi/3}$. Par Moivre :

Le résultat est un réel : cohérent, car l'argument $6 \times \tfrac{\pi}{3} = 2\pi$ ramène sur l'axe réel positif.

Exercice 3, linéarisation par Euler · niveau maths expertes / MPSI

Énoncé. Linéariser $\cos^3\theta$, c'est-à-dire l'écrire comme somme de cosinus d'angles multiples.

Solution. Formule d'Euler puis développement du cube :

On regroupe les termes conjugués via $e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$ :

Vérification en $\theta = 0$ : membre de gauche $\cos^3 0 = 1$ ; membre de droite $\tfrac{1 + 3}{4} = 1$. ✓

Exercice 4, racines cubiques de l'unité · niveau MPSI

Énoncé. Résoudre $z^3 = 1$ dans $\mathbb{C}$, puis montrer que la somme des solutions est nulle.

Solution. On cherche $z = r e^{i\theta}$ avec $z^3 = 1 = 1\cdot e^{i\,0}$. Par Moivre, $z^3 = r^3 e^{3i\theta}$. L'égalité des modules donne $r^3 = 1$, soit $r = 1$ ($r > 0$). L'égalité des arguments donne $3\theta = 0 + 2k\pi$, soit $\theta = \tfrac{2k\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$. Trois valeurs distinctes modulo $2\pi$, pour $k = 0, 1, 2$ :

Ce sont les racines cubiques de l'unité ; on note souvent $j = e^{i\,2\pi/3}$, de sorte que les solutions sont $1$, $j$ et $j^2$. Leur somme :

Plus généralement, les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité sont les $e^{2ik\pi/n}$, sommets d'un polygone régulier et de somme nulle dès $n \geq 2$. C'est un grand classique des premiers chapitres du programme MPSI en maths, où les complexes servent de terrain d'entraînement à la rigueur.

Ce qu'il faut retenir

• Trois écritures d'un même complexe : algébrique $a + ib$, trigonométrique $r(\cos\theta + i\sin\theta)$, exponentielle $r\,e^{i\theta}$.
• Module $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (une distance) et argument $\theta = \arg(z)$ (un angle, modulo $2\pi$, indéfini en $0$).
• Argument : toujours par le système $\cos\theta = a/r$, $\sin\theta = b/r$, jamais par la tangente seule.
• Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, d'où $\cos\theta = \tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \tfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ (linéarisation).
• Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ (puissances et racines).
• Le réflexe : modules qui se multiplient, arguments qui s'additionnent. Un produit, c'est agrandir plus tourner.

Les complexes ne sont pas une curiosité de fin d'année : ils reviennent en physique (signaux, impédances), en algèbre (équations polynomiales), en géométrie (rotations) et fondent des pans entiers du programme de prépa. Les solidifier maintenant, c'est s'épargner des heures de blocage en Sup.

Pour situer ce chapitre dans le parcours, vois notre article sur l'option maths expertes et son intérêt avant la MPSI, ainsi que le détail du programme de maths et physique en Terminale spécialité.