Trigonométrie : cercle, formules et exercices corrigés

La trigonométrie fait peur tant qu'on la voit comme une liste de formules à apprendre par cœur. Elle devient limpide dès qu'on comprend son point de départ unique : le cercle trigonométrique. Un cercle de rayon 1, deux coordonnées à lire, et tout le reste (valeurs remarquables, symétries, formules d'addition) s'en déduit.

Cet article te donne le fil complet : le cercle et les radians, les valeurs remarquables à connaître par cœur, les symétries qui divisent par quatre ce qu'il faut mémoriser, les formules d'addition et de duplication avec leur démonstration, la méthode pour résoudre une équation $\cos x = a$, et des exercices corrigés de la Première à la prépa. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient les mêmes confusions revenir chaque année : on les désamorce ici.

Le cercle trigonométrique et les radians

Place-toi dans un repère orthonormé direct de centre $O$. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, parcouru dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). À un réel $x$, on associe un point $M$ du cercle en « enroulant » la droite des réels autour du cercle : $x$ est la longueur d'arc parcourue depuis le point $(1,0)$.

Les deux coordonnées de $M$ portent des noms :

C'est pour cela qu'on parle de radians : l'angle en radians est exactement la longueur de l'arc sur le cercle de rayon 1. Un tour complet mesure le périmètre $2\pi$, un demi-tour mesure $\pi$. La conversion avec les degrés en découle : $180^\circ \leftrightarrow \pi$, donc on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ pour passer des degrés aux radians.

La tangente se définit là où $\cos x \neq 0$ par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Géométriquement, c'est l'ordonnée du point d'intersection entre la droite $(OM)$ et la tangente verticale au cercle en $(1,0)$, d'où son nom.

Les valeurs remarquables à connaître par cœur

Cinq angles reviennent partout : $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$. Leurs cosinus et sinus doivent être immédiats, sans calculatrice.

La case $\times$ pour $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ signale que la tangente n'est pas définie en $\dfrac{\pi}{2}$ : le cosinus y est nul, on diviserait par zéro. C'est la valeur interdite à toujours garder en tête quand tu manipules $\tan$.

Symétries et angles associés

Tu n'as pas besoin de mémoriser les valeurs pour $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{5\pi}{6}$, $-\dfrac{\pi}{4}$, etc. Toutes se ramènent aux cinq valeurs de base grâce aux symétries du cercle. Il suffit de lire la position du point sur le cercle.

Parité (symétrie par rapport à l'axe des abscisses) :

Angle supplémentaire $\pi - x$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) :

Angle opposé décalé $\pi + x$ (symétrie par rapport à $O$) :

Angle complémentaire $\dfrac{\pi}{2} - x$ (échange abscisse et ordonnée) :

Exemple express : $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$, et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Formules d'addition et de duplication

Les formules d'addition donnent le cosinus et le sinus d'une somme ou d'une différence d'angles. Ce sont les quatre relations à connaître :

En posant $b = a$ dans les formules de somme, on obtient les formules de duplication :

En combinant $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$ avec la relation fondamentale $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$, on tire les deux variantes très utilisées pour linéariser : $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$.

Démonstration des formules de duplication

Les formules d'addition s'admettent en Première (elles se démontrent proprement avec le produit scalaire ou les nombres complexes). En revanche, il faut savoir en déduire la duplication : c'est un grand classique de khôlle et d'oral. Voici la démarche pas à pas.

Étape 1, on part de l'addition. On écrit la formule de $\cos(a+b)$ avec le choix particulier $b = a$ :

Étape 2, on regroupe. Les produits $\cos a \cos a$ et $\sin a \sin a$ sont des carrés :

Étape 3, même méthode pour le sinus. On applique $\sin(a+b)$ avec $b = a$ :

Étape 4, les variantes du cosinus double. On injecte $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$ (relation fondamentale) dans $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$ :

De même, avec $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$, on obtient $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a$.

Résoudre une équation trigonométrique

La méthode est toujours la même : ramener l'équation à une égalité $\cos x = \cos \alpha$ (ou $\sin x = \sin \alpha$) où $\alpha$ est un angle connu, puis lire les solutions sur le cercle.

Pourquoi ? Deux points du cercle ont le même cosinus (même abscisse) s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : d'où $\alpha$ et $-\alpha$. Deux points ont le même sinus (même ordonnée) s'ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : d'où $\alpha$ et $\pi - \alpha$. Le terme $2k\pi$ traduit simplement qu'on peut faire autant de tours qu'on veut.

Exemple. Résolvons $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $\left]-\pi,\ \pi\right]$. On reconnaît $\dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, donc $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$. Sur l'intervalle demandé, seules deux valeurs conviennent :

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et de khôlle, les mêmes pièges reviennent. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par CentraleSupélec et Mines Paris, les signalent dès les premières séances de trigonométrie pour les éliminer d'entrée.

1. Travailler en degrés en analyse. La dérivée de $\sin$ n'est $\cos$ que si l'angle est en radians. Dès qu'il y a dérivée, intégrale ou limite, on passe en radians sans exception.
2. Se tromper de signe dans $\cos(a+b)$. C'est le cosinus qui « contrarie » : $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$, avec un $-$. Écrire un $+$ ici fausse tout le calcul.
3. Confondre $\cos^2 x$ et $\cos(x^2)$. La notation $\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$. Rien à voir avec le cosinus de $x^2$. Cette confusion casse toute linéarisation.
4. Oublier une famille de solutions. Une équation $\cos x = a$ a deux familles ($\alpha$ et $-\alpha$), pas une seule. Beaucoup n'en écrivent qu'une et perdent la moitié des points.
5. Diviser par $\cos x$ sans précaution. Avant de passer à $\tan x$, il faut vérifier que $\cos x \neq 0$, sinon on perd les solutions où le cosinus s'annule.

4 exercices corrigés · Première → prépa

Exercice 1, Niveau Première · angles associés

Énoncé. Donner les valeurs exactes de $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$.

Solution. On écrit $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, angle supplémentaire de $\dfrac{\pi}{6}$. Donc :

Exercice 2, Niveau Première · formule d'addition

Énoncé. Calculer la valeur exacte de $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

Solution. On décompose $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$ (car $\dfrac{4\pi - 3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{12}$). On applique $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ :

On met au même dénominateur :

Exercice 3, Niveau Première / Terminale · équation

Énoncé. Résoudre $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $\left[0,\ 2\pi\right[$.

Solution. On reconnaît $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. Les solutions sont $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$. Sur $\left[0,\ 2\pi\right[$, on retient :

Exercice 4, Niveau Terminale / prépa · duplication et équation

Énoncé. Résoudre $\cos(2x) = \cos x$ sur $\left[0,\ 2\pi\right[$.

Solution. On applique directement $\cos u = \cos v \iff u = \pm v + 2k\pi$ avec $u = 2x$ et $v = x$. Deux cas.

Cas 1 : $2x = x + 2k\pi$, soit $x = 2k\pi$. Sur $\left[0,\ 2\pi\right[$, cela donne $x = 0$.

Cas 2 : $2x = -x + 2k\pi$, soit $3x = 2k\pi$, donc $x = \dfrac{2k\pi}{3}$. Sur $\left[0,\ 2\pi\right[$, on obtient $x = 0$, $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.

En réunissant les deux cas (et sans compter deux fois $x = 0$) :

On pouvait aussi passer par la duplication $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, ce qui ramène à l'équation du second degré $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ d'inconnue $\cos x$. Cette bascule vers un polynôme en $\cos x$ est un réflexe qu'on retrouve sans cesse en prépa, notamment quand on aborde la trigonométrie via les nombres complexes et la forme exponentielle.

Ce qu'il faut retenir

• Le cercle de rayon 1 : $\cos x$ en abscisse, $\sin x$ en ordonnée, et la relation fondamentale $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
• Les radians : $180^\circ \leftrightarrow \pi$ ; l'unité obligatoire dès qu'il y a dérivée ou intégrale.
• Les valeurs remarquables : la liste $1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$ pour les cosinus, lue à l'envers pour les sinus.
• Les symétries : dessine le cercle plutôt que de mémoriser les angles associés ($-x$, $\pi - x$, $\pi + x$, $\frac{\pi}{2} - x$).
• Les formules d'addition (« cosinus contrarie, sinus suit ») et la duplication $\cos(2a)$, $\sin(2a)$, avec les variantes de linéarisation.
• Les équations : $\cos x = \cos\alpha \Rightarrow x = \pm\alpha + 2k\pi$ ; $\sin x = \sin\alpha \Rightarrow x = \alpha + 2k\pi$ ou $\pi - \alpha + 2k\pi$.

La trigonométrie n'est pas un chapitre isolé : elle irrigue tout le programme. Le produit scalaire repose sur le $\cos$ de l'angle entre deux vecteurs, les nombres complexes s'écrivent avec $\cos$ et $\sin$, et les formules de linéarisation sont la clé du calcul intégral. Solide en trigonométrie de Première, tu débloques une bonne partie de la Terminale et de la Sup.

Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de spécialité maths de Première et sa suite en Terminale, qui montrent comment la trigonométrie se prolonge vers l'analyse et les complexes.