Probabilités conditionnelles : arbre et exercices corrigés

Les probabilités conditionnelles répondent à une seule question : une information change-t-elle mes chances ? Savoir qu'un dé est tombé sur un nombre pair, qu'un élève est interne, qu'un test est positif, tout cela réduit l'univers et met à jour la probabilité qu'on cherche. C'est l'outil qui transforme une donnée en probabilité corrigée.

Cet article te donne tout ce qu'il faut pour être solide au bac : la formule $P_A(B)$ et son intuition, les trois règles de l'arbre pondéré que le jury attend, la formule des probabilités totales, la notion d'indépendance sans la confondre avec l'incompatibilité, et 4 exercices corrigés de niveau croissant. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir chaque année les mêmes confusions sur les copies, on les liste pour que tu les évites.

La formule d'une probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$ (parfois $P(B \mid A)$), est définie par :

L'idée est un changement d'univers : on ne regarde plus tout l'espace, mais seulement la partie où $A$ est réalisé. Dans cet univers réduit, on mesure la proportion qui vérifie aussi $B$. Le dénominateur $P(A)$ est là pour renormaliser : à l'intérieur de $A$, la probabilité totale doit à nouveau valoir $1$.

En multipliant en croix, on obtient la formule des probabilités composées, celle qui sert à remonter un chemin d'arbre :

L'arbre pondéré et ses trois règles

L'arbre pondéré est l'outil visuel le plus rentable du chapitre : bien construit, il fait le calcul à ta place. Chaque branche porte une probabilité, chaque chemin (de la racine à une feuille) correspond à une intersection d'événements. Trois règles suffisent, elles sont attendues explicitement par le correcteur.

Point clé souvent oublié : dès le deuxième niveau, les branches portent déjà des probabilités conditionnelles. Sur un arbre à deux niveaux $A$ puis $B$, la branche partant de $A$ vers $B$ vaut $P_A(B)$, et la Règle 2 donne exactement $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$, c'est-à-dire la formule des probabilités composées.

La formule des probabilités totales

C'est la Règle 3 de l'arbre, énoncée proprement. On a besoin d'une partition de l'univers : des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ qui sont incompatibles deux à deux et dont la réunion est l'univers entier (on dit aussi « système complet d'événements »). Alors, pour tout événement $B$ :

Le cas de très loin le plus fréquent au bac est la partition la plus simple qui soit : $\lbrace A,\ \bar{A} \rbrace$. La formule se réduit alors à deux termes, les deux chemins d'un arbre qui mènent à $B$ :

Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre. La définition officielle est la plus symétrique :

Lorsque $P(A) \neq 0$, cette égalité équivaut à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$. C'est la lecture intuitive de l'indépendance.

Pour prouver l'indépendance, tu compares les deux nombres $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ : s'ils sont égaux, indépendance ; sinon, dépendance. Ne te fie jamais à l'intuition seule, c'est un calcul.

L'exemple pivot : le test médical

Voici l'exemple qui fait comprendre pourquoi $P_A(B)$ et $P_B(A)$ ne sont jamais interchangeables. Une maladie touche $2\%$ de la population. On dispose d'un test : chez une personne malade, il est positif dans $95\%$ des cas ; chez une personne saine, il est (à tort) positif dans $10\%$ des cas.

Notons $M$ « être malade » et $T$ « le test est positif ». L'énoncé donne : $P(M) = 0{,}02$, donc $P(\bar{M}) = 0{,}98$ ; $P_M(T) = 0{,}95$ et $P_{\bar{M}}(T) = 0{,}10$. On construit l'arbre et on applique les probabilités totales :

La question intéressante n'est pas $P_M(T)$ (qu'on connaît, $0{,}95$), mais la question inverse : sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade, $P_T(M)$ ? On applique la définition :

Tableau ou arbre : quand utiliser quoi

Les deux représentations codent la même information ; tu choisis selon la forme des données de l'énoncé.

À partir d'un tableau d'effectifs, une conditionnelle se lit sans calcul : $P_A(B)$ est l'effectif de la case $A \cap B$ divisé par l'effectif total de la ligne (ou colonne) $A$, pas par l'effectif global. Bien identifier le « bon dénominateur » est tout l'enjeu.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et du bac, les mêmes confusions reviennent chaque année autour des probabilités conditionnelles. Voici celles que nos profs traquent en priorité.

1. Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$. L'erreur reine, illustrée par le test médical. Lis bien qui est « sachant » : le mot placé après « sachant que » est l'événement conditionnant, donc l'indice de $P$.
2. Confondre indépendant et incompatible. Incompatible : $A \cap B = \varnothing$. Indépendant : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. Ce sont des notions opposées, pas des synonymes.
3. Diviser par le mauvais total. Dans $P_A(B) = P(A \cap B)/P(A)$, le dénominateur est $P(A)$, pas $P(B)$ ni la probabilité totale. Sur un tableau, on divise par le total de la ligne du conditionnant.
4. Additionner des branches d'un même chemin. Sur un chemin, on multiplie les branches (Règle 2). On additionne seulement des chemins différents qui mènent au même événement (Règle 3).
5. Oublier de vérifier que la somme des feuilles fait $1$. C'est le contrôle gratuit de tout arbre. Une somme différente de $1$ signale une erreur de branche à corriger avant de continuer.

4 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, lecture d'un tableau

Énoncé. Dans un lycée de $100$ élèves de Terminale, on répartit selon le sexe et le statut :

On tire un élève au hasard. On note $F$ « être une fille » et $I$ « être interne ». Calculer $P_F(I)$ puis $P_I(F)$.

Solution. On divise par le bon total. Pour $P_F(I)$, on se restreint aux $60$ filles :

Les deux valeurs diffèrent, c'est normal : le dénominateur change ($60$ filles contre $40$ internes). On vérifie au passage que $F$ et $I$ ne sont pas indépendants, car $P_F(I) = 0{,}5 \neq P(I) = 0{,}4$.

Exercice 2, arbre et probabilités totales

Énoncé. Une usine produit des pièces sur deux machines. La machine $A$ fabrique $60\%$ des pièces, la machine $B$ les $40\%$ restants. La machine $A$ produit $3\%$ de pièces défectueuses, la machine $B$ en produit $5\%$. On prélève une pièce au hasard. Calculer la probabilité $P(D)$ qu'elle soit défectueuse, puis $P_D(A)$ la probabilité qu'elle vienne de $A$ sachant qu'elle est défectueuse.

Solution. On a $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}4$, $P_A(D) = 0{,}03$, $P_B(D) = 0{,}05$. Formule des probabilités totales avec la partition $\lbrace A, B \rbrace$ :

Puis, par définition de la conditionnelle :

Sachant qu'une pièce est défectueuse, elle a environ $47\%$ de chances de venir de $A$, alors que $A$ fabrique $60\%$ des pièces : logique, $A$ est de meilleure qualité.

Exercice 3, prouver une indépendance

Énoncé. On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes. Soit $C$ « la carte est un cœur » et $R$ « la carte est un roi ». Les événements $C$ et $R$ sont-ils indépendants ?

Solution. Il y a $13$ cœurs et $4$ rois, donc :

L'intersection $C \cap R$ est le seul roi de cœur, donc $P(C \cap R) = \dfrac{1}{52}$. On compare :

L'égalité $P(C \cap R) = P(C)P(R)$ est vérifiée : $C$ et $R$ sont indépendants. Autrement dit, savoir que la carte est un cœur ne change pas la probabilité que ce soit un roi ($P_C(R) = \frac{1}{13} = P(R)$).

Exercice 4, tirages successifs sans remise

Énoncé. Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire deux boules l'une après l'autre, sans remise. On note $R_1$ « la 1ʳᵉ boule est rouge » et $R_2$ « la 2ᵉ boule est rouge ». Calculer $P(R_2)$, puis $P_{R_2}(R_1)$.

Solution. Au premier tirage, $P(R_1) = \dfrac{3}{5}$ et $P(V_1) = \dfrac{2}{5}$. Les branches du second niveau sont conditionnelles (une boule a été retirée) : $P_{R_1}(R_2) = \dfrac{2}{4}$ et $P_{V_1}(R_2) = \dfrac{3}{4}$. Probabilités totales avec la partition $\lbrace R_1, V_1 \rbrace$ :

On calcule ensuite la question inverse. Comme $P(R_1 \cap R_2) = \dfrac35 \times \dfrac24 = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ :

On retrouve que $P(R_2) = \dfrac35 = P(R_1)$ : par symétrie, la $2^\text{e}$ boule a la même probabilité d'être rouge que la première, résultat classique et contre-intuitif du tirage sans remise. Ce type de récurrence sur des probabilités se prolonge en Terminale avec les suites définies par récurrence, très présentes dans les exercices de probabilités enchaînées.

Ce qu'il faut retenir

• La définition $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) \neq 0$, et la formule composée $P(A \cap B) = P(A)P_A(B)$.
• Les trois règles de l'arbre : somme des branches d'un nœud $= 1$ ; probabilité d'un chemin $=$ produit ; événement final $=$ somme des chemins.
• Les probabilités totales : $P(B) = \sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)$ sur une partition, le plus souvent $\lbrace A, \bar{A} \rbrace$.
• L'indépendance : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, à ne jamais confondre avec l'incompatibilité.
• Le piège : $P_A(B) \neq P_B(A)$, l'écart peut être énorme quand un événement est rare (test médical).
• Le réflexe : vérifier que la somme des feuilles de l'arbre vaut $1$.

Les probabilités conditionnelles sont posées dès la spécialité maths de Première et approfondies en Terminale (arbre, probabilités totales, indépendance, puis loi binomiale et variables aléatoires). Elles reviennent chaque année dans un exercice du bac, souvent sous forme d'arbre à compléter suivi d'une question inverse.

Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de spécialité maths de Terminale, qui détaille comment les probabilités s'articulent avec l'analyse et la géométrie.