Suites arithmétiques et géométriques : formules et exercices

Deux familles de suites reviennent partout, du bac aux concours : les suites arithmétiques et les suites géométriques. La différence tient en un mot. Dans une arithmétique, on ajoute toujours le même nombre pour passer au terme suivant ; dans une géométrique, on multiplie toujours par le même nombre. Tout le reste, terme général, somme, variations, limites, découle de cette unique distinction.

Cet article te donne les définitions, les formules à connaître par cœur, la démonstration de la somme des termes que tu retrouveras à l'oral, la méthode pour reconnaître le type d'une suite, les limites selon la raison, et 4 exercices corrigés du niveau Première à la Terminale. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes confusions chaque année : on les liste pour que tu les évites.

Définitions : raison et récurrence

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ :

Autrement dit, l'écart entre deux termes consécutifs est constant, égal à $r$. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$ : $u_0,\; u_0 + r,\; u_0 + 2r,\; \dots$

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$, appelé raison, tel que pour tout entier $n$ :

Cette fois, c'est le quotient entre deux termes consécutifs qui est constant, égal à $q$ (quand les termes sont non nuls). On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$ : $u_0,\; u_0\,q,\; u_0\,q^2,\; \dots$

Reconnaître le type d'une suite

Devant une suite, la première question est toujours : arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre ? Deux tests suffisent.

• Test arithmétique. Calcule les différences $u_{n+1} - u_n$. Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et cette valeur commune est la raison $r$.
• Test géométrique. Calcule les quotients $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (termes non nuls). S'ils sont tous égaux, la suite est géométrique et cette valeur commune est la raison $q$.

Un exemple : la suite $3,\; 7,\; 11,\; 15,\; \dots$ a des différences $4, 4, 4$ : arithmétique de raison $4$. La suite $3,\; 6,\; 12,\; 24,\; \dots$ a des quotients $2, 2, 2$ : géométrique de raison $2$. La suite $1,\; 4,\; 9,\; 16,\; \dots$ (les carrés) n'est ni l'une ni l'autre : ses différences ($3, 5, 7$) et ses quotients ($4, 2{,}25, \dots$) varient.

Le terme général : calculer $u_n$ directement

La relation de récurrence donne un terme à partir du précédent. Le terme général donne $u_n$ directement en fonction de $n$, sans calculer tous les termes intermédiaires.

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ :

Attention à l'indice de départ. Si la suite commence à $n = 1$, on remplace $u_0$ par $u_1$ et $n$ par $n - 1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$ (arithmétique) ou $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$ (géométrique). Plus généralement, à partir d'un terme connu $u_p$ : $u_n = u_p + (n - p)\,r$ et $u_n = u_p \times q^{\,n-p}$.

Pourquoi ces formules ? Pour l'arithmétique, on ajoute $r$ à chaque étape : de $u_0$ à $u_n$, on l'ajoute exactement $n$ fois, d'où $u_n = u_0 + n\,r$. Pour la géométrique, on multiplie par $q$ à chaque étape : de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois, d'où $u_n = u_0 \times q^{\,n}$. Une démonstration propre se rédige par raisonnement par récurrence, l'outil standard pour valider une formule vraie « pour tout $n$ ».

La somme des termes

Somme d'une suite arithmétique

La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique obéit à une formule limpide :

En clair : somme = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2. On reconnaît la légende du jeune Gauss additionnant $1 + 2 + \cdots + 100$ : en appariant le premier et le dernier ($1 + 100 = 101$), le deuxième et l'avant-dernier ($2 + 99 = 101$), etc., chaque paire vaut la même somme. Le cas $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ en est l'exemple emblématique.

Somme d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique de raison $q \neq 1$, la somme de termes consécutifs vaut :

Là encore : somme = premier terme × (1 − raison^{nombre de termes}) / (1 − raison). Si $q = 1$, la suite est constante et la somme vaut simplement $(n+1)\,u_0$.

Démonstration de la formule géométrique. Posons $S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$. Multiplions par $q$ :

En soustrayant, presque tous les termes se télescopent :

Comme $q \neq 1$, on divise par $1 - q$ : $S = \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$. Pour une somme dont le premier terme est $u_0$, on met $u_0$ en facteur, ce qui donne la formule annoncée. $\blacksquare$

Sens de variation

Le sens de variation se lit sur la raison, mais les règles diffèrent entre les deux familles.

Suite arithmétique. Comme $u_{n+1} - u_n = r$, le signe de la raison décide tout :

• $r > 0$ : la suite est strictement croissante ;
• $r < 0$ : la suite est strictement décroissante ;
• $r = 0$ : la suite est constante.

Suite géométrique. C'est plus subtil, car le comportement dépend à la fois de la raison $q$ et du signe du premier terme. Dans le cas fréquent $u_0 > 0$ et $q > 0$ :

• $q > 1$ : strictement croissante (les termes gonflent) ;
• $0 < q < 1$ : strictement décroissante (les termes fondent vers $0$) ;
• $q = 1$ : constante.

Si $u_0 < 0$, ces deux premiers sens s'inversent. Et si $q < 0$, la suite change de signe à chaque terme : elle est alternée, donc ni croissante ni décroissante. C'est le piège classique : une géométrique de raison négative n'est jamais monotone.

Limites : le comportement de $q^n$

L'étude des limites est un enjeu de Terminale. Pour une suite arithmétique de raison $r$, c'est immédiat : $u_n = u_0 + n\,r$ tend vers $+\infty$ si $r > 0$, vers $-\infty$ si $r < 0$, et reste constante si $r = 0$.

Pour une suite géométrique, tout se joue sur le comportement de $q^n$, résumé par le résultat suivant (valable pour la suite $(q^n)$) :

Pour $u_n = u_0\,q^n$, on multiplie ce comportement par $u_0$ (le signe de $u_0$ fixe le sens de la limite infinie). Cas particulier très utile : si $-1 < q < 1$, alors $u_n \to 0$, quel que soit $u_0$.

Ce résultat sur $q^n$ permet aussi de calculer la limite d'une somme géométrique convergente. Quand $-1 < q < 1$, le terme $q^{\,n+1}$ tend vers $0$, donc :

Cette étude des limites se prolonge dans notre guide du calcul de limites de suites et de fonctions, où l'on traite aussi les formes indéterminées et les croissances comparées.

Tableau récapitulatif

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de contrôle et de bac, les mêmes fautes reviennent chaque année autour des suites. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, les signalent à leurs élèves dès le début de Première pour les éliminer tout de suite.

1. Confondre raison arithmétique et raison géométrique. On ajoute $r$, on multiplie par $q$. Écrire $u_n = u_0 + q^n$ ou $u_n = u_0 \times n\,r$ mélange les deux mondes. Vérifie d'abord la nature de la suite.
2. Se tromper dans le nombre de termes. De $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes, pas $n$. C'est l'erreur reine dans les sommes : on écrit $q^n$ au lieu de $q^{\,n+1}$, ou on oublie de multiplier par le bon facteur.
3. Appliquer la somme géométrique quand $q = 1$. La formule $\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$ divise par $1 - q$ : elle est interdite pour $q = 1$. Dans ce cas, la suite est constante et la somme vaut $(n+1)\,u_0$.
4. Croire qu'une géométrique de raison $q < 0$ est monotone. Elle change de signe à chaque terme, donc elle n'est ni croissante ni décroissante. Ne jamais annoncer un sens de variation sans regarder le signe de $q$ et de $u_0$.
5. Confondre limite de $(q^n)$ et limite de la somme. Pour $-1 < q < 1$, le terme $q^n$ tend vers $0$, mais la somme $u_0 + \cdots + u_n$ tend vers $\dfrac{u_0}{1-q}$, une valeur finie non nulle. Deux limites différentes à ne pas mélanger.

4 exercices corrigés · Première → Terminale

Exercice 1, Niveau Première · suite arithmétique

Énoncé. Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Calculer $u_{10}$, puis la somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$.

Solution. Terme général : $u_n = 5 + 3n$, donc $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35$. La somme porte sur $11$ termes (de $u_0$ à $u_{10}$) :

Exercice 2, Niveau Première · suite géométrique

Énoncé. Soit $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Calculer $v_5$, puis la somme $S = v_0 + v_1 + \cdots + v_5$.

Solution. Terme général : $v_n = 2 \times 3^n$, donc $v_5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486$. La somme porte sur $6$ termes, avec $q = 3 \neq 1$ :

Vérification directe : $2(1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243) = 2 \times 364 = 728$. ✓

Exercice 3, Niveau Première / Terminale · reconnaître via une suite auxiliaire

Énoncé. On définit $(u_n)$ par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$. Montrer que la suite $v_n = u_n + 3$ est géométrique, puis en déduire le terme général de $(u_n)$.

Solution. Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :

Le quotient $v_{n+1}/v_n = 2$ est constant : $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 2$. Son premier terme est $v_0 = u_0 + 3 = 4$, donc $v_n = 4 \times 2^n = 2^{n+2}$. On revient à $(u_n)$ via $u_n = v_n - 3$ :

Contrôle : $u_0 = 2^2 - 3 = 1$ ✓ et $u_1 = 2^3 - 3 = 5 = 2\times 1 + 3$ ✓. Ce schéma « suite auxiliaire géométrique » est le réflexe attendu pour toute suite $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$.

Exercice 4, Niveau Terminale · limite d'une somme

Énoncé. Calculer $S_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}$, puis sa limite quand $n \to +\infty$.

Solution. C'est une somme géométrique de premier terme $1$ et de raison $q = \tfrac{1}{2} \neq 1$, sur $n+1$ termes :

Comme $-1 < \tfrac{1}{2} < 1$, le terme $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ tend vers $0$, donc :

On retrouve la formule générale $\dfrac{u_0}{1-q} = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$ : la somme des puissances de $\tfrac{1}{2}$ « se stabilise » à $2$, sans jamais l'atteindre.

Ce qu'il faut retenir

• Arithmétique : on ajoute la raison $r$ ($u_{n+1} = u_n + r$), terme général $u_n = u_0 + n\,r$.
• Géométrique : on multiplie par la raison $q$ ($u_{n+1} = q\,u_n$), terme général $u_n = u_0\,q^{\,n}$.
• Reconnaître : différences constantes = arithmétique ; quotients constants = géométrique. Le prouver pour tout $n$.
• Sommes : arithmétique $(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$ ; géométrique $u_0\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$ pour $q \neq 1$. Compte bien le nombre de termes.
• Limites : tout dépend de la raison. Pour la géométrique, $q^n \to 0$ si $-1 < q < 1$, $\to +\infty$ si $q > 1$.
• Le piège : une géométrique de raison négative n'est jamais monotone ; ne pas confondre limite du terme et limite de la somme.

Les suites arithmétiques et géométriques sont au cœur de la spécialité maths de Première et servent de tremplin en Terminale, où elles se combinent au raisonnement par récurrence et à l'étude fine des limites. Les suites définies par $u_{n+1} = a\,u_n + b$, comme dans l'exercice 3, reviennent d'ailleurs à chaque session : maîtriser le réflexe de la suite auxiliaire géométrique t'y prépare directement.

Pour continuer, notre panorama du programme de maths de Terminale montre où ces suites réapparaissent, et notre guide des limites approfondit le calcul de limites que tu viens de croiser.