Produit scalaire : formules, applications et exercices corrigés

Le produit scalaire est l'outil qui fait le pont entre la géométrie et le calcul. Un angle, une orthogonalité, une distance, l'équation d'une droite ou d'un cercle : tout devient une simple opération sur des coordonnées. Là où une figure demanderait un raisonnement fin, le produit scalaire te donne un nombre, et ce nombre répond à la question.

Cet article te donne les formules du produit scalaire et comment choisir la bonne, sa démonstration (le passage des normes aux coordonnées), les propriétés à connaître, le critère d'orthogonalité, les grandes applications (angles, équations de droites et de cercles, théorème d'Al-Kashi) et des exercices corrigés de niveau croissant. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes confusions chaque année, on les liste pour que tu les évites.

Les formules du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est un nombre réel (un scalaire). Attention au vocabulaire : le résultat n'est pas un vecteur. Il admet trois expressions, toutes équivalentes.

1. Avec les coordonnées. Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$, alors :

C'est la formule de calcul par excellence : dès que tu as un repère, elle donne le résultat en une ligne.

2. Avec les normes et l'angle. Si $\theta$ désigne l'angle géométrique entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $\vec{v} \neq \vec{0}$) :

C'est la formule géométrique : elle relie le produit scalaire aux longueurs et à l'angle. Elle explique tout de suite pourquoi $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est nul quand l'angle est droit ($\cos 90^\circ = 0$).

3. Avec les normes seules (polarisation). Sans passer par l'angle :

4. Avec le projeté orthogonal. Si $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$, et si $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{OA} \cdot \vec{OH}$. Ce produit vaut $+\,OA \times OH$ si $\vec{OH}$ et $\vec{OA}$ ont le même sens, et $-\,OA \times OH$ s'ils sont de sens contraires.

Démonstration · des normes aux coordonnées

Montrons que la formule par polarisation (n°3) redonne bien la formule des coordonnées (n°1). C'est la démonstration attendue en Première : elle repose uniquement sur le théorème de Pythagore (qui donne la norme en fonction des coordonnées) et sur du calcul algébrique.

Point de départ. Dans un repère orthonormé, on pose $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$. La norme d'un vecteur s'exprime par $\lVert \vec{u} \rVert^2 = x^2 + y^2$ et $\lVert \vec{v} \rVert^2 = x'^2 + y'^2$.

Étape 1, coordonnées de $\vec{u} - \vec{v}$. Le vecteur $\vec{u} - \vec{v}$ a pour coordonnées $(x - x'\,;\,y - y')$, donc :

Étape 2, on développe. Avec l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :

Étape 3, on injecte dans la formule de polarisation.

Étape 4, conclusion. Les termes $x^2$, $y^2$, $x'^2$, $y'^2$ se simplifient deux à deux, il ne reste que les doubles produits :

Les propriétés à connaître par cœur

Le produit scalaire se manipule presque comme une multiplication classique, à une nuance près : ses « facteurs » sont des vecteurs, et le résultat est un nombre. Voici les règles de calcul, valables pour tous vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ et tout réel $k$.

Ces règles autorisent des identités de type « remarquable » sur les vecteurs, très utiles en pratique :

Le critère d'orthogonalité

C'est la propriété la plus utilisée du produit scalaire, celle qui justifie presque toute son existence au lycée. Elle découle directement de la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta$ : si les vecteurs sont orthogonaux, $\theta = 90^\circ$, donc $\cos\theta = 0$, donc le produit scalaire est nul. Et réciproquement.

Par convention, le vecteur nul $\vec{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs (son produit scalaire avec n'importe quel vecteur vaut $0$). Le mot « orthogonal » se réserve aux vecteurs ; on dit « perpendiculaire » pour les droites. Ce critère prolonge naturellement le travail sur les coordonnées et opérations sur les vecteurs vus en Seconde.

Les grandes applications

1. Calculer un angle

En égalant les formules 1 et 2, on isole le cosinus de l'angle. Pour $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls :

On calcule le produit scalaire par les coordonnées, les deux normes, puis on en déduit $\theta$. Un rappel de trigonométrie et du cercle trigonométrique aide à retrouver l'angle une fois le cosinus connu.

2. Le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans un triangle $ABC$, en notant $\widehat{A}$ l'angle en $A$, on a :

C'est une généralisation du théorème de Pythagore (quand $\widehat{A} = 90^\circ$, $\cos\widehat{A} = 0$ et on retrouve $BC^2 = AB^2 + AC^2$). La démonstration tient en trois lignes de produit scalaire : on écrit $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$, puis on développe le carré scalaire.

et comme $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{A}$, on obtient la formule. Elle permet de calculer un côté ou un angle d'un triangle quelconque.

3. Équation cartésienne d'une droite

Une droite $\mathcal{D}$ est entièrement déterminée par un point $A\,(x_A\,;\,y_A)$ et un vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;\,b)$ (un vecteur non nul orthogonal à la droite). Un point $M\,(x\,;\,y)$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement si $\vec{AM} \perp \vec{n}$, c'est-à-dire $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$ :

On lit directement le vecteur normal dans l'équation : $\vec{n}\,(a\,;\,b)$ sont les coefficients de $x$ et $y$. Réflexe précieux pour trouver une perpendiculaire ou une distance.

4. Équation d'un cercle de diamètre [AB]

Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si l'angle $\widehat{AMB}$ est droit (ou $M \in \\{A, B\\}$), ce qui s'écrit $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$. En développant en coordonnées, on obtient l'équation cartésienne du cercle. C'est l'exercice 4 corrigé plus bas.

5 erreurs classiques à éviter

Ces confusions reviennent sur les copies de Première dès l'introduction du chapitre. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par CentraleSupélec et les Mines Paris, les signalent tôt pour les éliminer.

1. Croire que le résultat est un vecteur. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire « $\vec{u} \cdot \vec{v}$ » avec une flèche au-dessus est une faute. On ne met pas de flèche sur un scalaire.
2. Confondre produit scalaire et coordonnées « multipliées ». $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ est une somme de deux produits, pas $(xx'\,;\,yy')$. Le résultat n'a pas de coordonnées.
3. Oublier que le repère doit être orthonormé. La formule $xx' + yy'$ n'est valable que dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, elle est fausse.
4. Se tromper de signe avec l'angle. Dans $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta$, si l'angle est obtus, $\cos\theta \lt 0$ et le produit scalaire est négatif. Un produit scalaire négatif n'est pas une erreur, c'est un angle obtus.
5. Déduire qu'un vecteur est nul depuis $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Un produit scalaire nul signifie orthogonalité, pas qu'un des vecteurs est nul. C'est la grande différence avec la multiplication des réels.

4 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, calcul et orthogonalité

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}\,(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}\,(4\,;\,6)$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Solution. On applique la formule des coordonnées :

Le produit scalaire est nul et les deux vecteurs sont non nuls : ils sont orthogonaux.

Exercice 2, calcul d'un angle

Énoncé. On donne $\vec{u}\,(1\,;\,2)$ et $\vec{v}\,(3\,;\,1)$. Déterminer une valeur approchée de l'angle $\theta$ entre ces deux vecteurs.

Solution. On calcule le produit scalaire et les normes :

On en déduit le cosinus :

Donc $\theta = 45^\circ$ (soit $\tfrac{\pi}{4}$ radian). L'angle est exact ici, pas seulement approché.

Exercice 3, théorème d'Al-Kashi

Énoncé. Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 5$, $AC = 7$ et $\widehat{A} = 60^\circ$. Calculer la longueur $BC$.

Solution. On applique la loi des cosinus avec $\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$ :

Donc $BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.

Exercice 4, équation d'un cercle · Première / prépa

Énoncé. On donne $A\,(1\,;\,2)$ et $B\,(5\,;\,4)$. Déterminer l'équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$, puis son centre et son rayon.

Solution. Un point $M\,(x\,;\,y)$ appartient au cercle si et seulement si $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$. On a $\vec{MA}\,(1 - x\,;\,2 - y)$ et $\vec{MB}\,(5 - x\,;\,4 - y)$, donc :

On développe chaque produit :

L'équation du cercle est donc :

Pour lire le centre et le rayon, on regroupe en formes canoniques : $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ et $y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9$, d'où :

Le cercle a pour centre $\Omega\,(3\,;\,3)$ (le milieu de $[AB]$, comme attendu) et pour rayon $\sqrt{5}$ (soit la moitié de $AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$). Tout est cohérent. ☐

Ce dernier exercice mêle produit scalaire, développement et forme canonique : exactement le type de raisonnement combiné attendu en fin de Première et réinvesti en prépa. Pour situer ce chapitre dans l'année, consulte notre panorama du programme de maths et physique de Première.

Ce qu'il faut retenir

• Un nombre, pas un vecteur. $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un scalaire, sans flèche.
• Trois formules équivalentes : coordonnées $xx' + yy'$ (repère orthonormé), norme et angle $\lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta$, polarisation $\tfrac{1}{2}(\lVert \vec{u} \rVert^2 + \lVert \vec{v} \rVert^2 - \lVert \vec{u} - \vec{v} \rVert^2)$.
• Le critère clé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$ (vecteurs non nuls). C'est l'outil des angles droits.
• Les propriétés : symétrie, bilinéarité, carré scalaire $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert^2$.
• Les applications : angle, théorème d'Al-Kashi, équation de droite par vecteur normal, cercle de diamètre $[AB]$.
• Les pièges : flèche de trop, repère non orthonormé, signe du cosinus (angle obtus), produit nul ne veut pas dire vecteur nul.

Le produit scalaire est la porte d'entrée vers la géométrie du supérieur : produit scalaire dans l'espace en Terminale, puis espaces euclidiens, bases orthonormées et projections en classes préparatoires. Le maîtriser en Première, c'est prendre une longueur d'avance sur tout ce qui suit.