Vecteurs : coordonnées, opérations et exercices corrigés

Un vecteur, ce n'est pas une flèche décorative : c'est un déplacement. Une direction, un sens, une longueur. Cette idée toute simple est l'outil le plus rentable de la classe de Seconde : elle transforme des problèmes de géométrie qui semblaient durs (montrer que des points sont alignés, qu'un quadrilatère est un parallélogramme, trouver un milieu) en calculs de coordonnées automatiques.

Cet article te donne tout : la définition propre d'un vecteur, l'égalité et la somme (relation de Chasles), le passage aux coordonnées dans un repère, la norme, le milieu, et le critère roi de colinéarité par le déterminant. Le tout avec des exercices corrigés de géométrie repérée, du niveau Seconde jusqu'à un pont vers la Première. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X et CentraleSupélec, voient chaque année les mêmes confusions de signe et d'ordre des points : on te les signale pour que tu les évites dès maintenant.

Définition : direction, sens, norme

Soit $A$ et $B$ deux points du plan. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le déplacement qui amène $A$ sur $B$. Il est entièrement caractérisé par trois données :

• sa direction : celle de la droite $(AB)$ ;
• son sens : de $A$ vers $B$ (et pas l'inverse) ;
• sa norme, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$ : la longueur $AB$.

Conséquence essentielle : un vecteur n'a pas de position fixe. Deux flèches qui ont même direction, même sens et même longueur représentent le même vecteur, même si elles partent de points différents. On peut donc « déplacer » un vecteur sans le changer, ce qui n'est jamais permis avec un segment.

Cela donne une caractérisation géométrique très utile de l'égalité de deux vecteurs :

Attention à l'ordre des lettres : c'est bien $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (et non $\overrightarrow{CD}$) qui donne le parallélogramme $ABCD$, car les côtés $[AB]$ et $[DC]$ doivent être parallèles, de même longueur et « dans le même sens » de parcours.

Deux vecteurs particuliers à connaître :

• le vecteur nul $\vec{0} = \overrightarrow{AA}$ : norme nulle, pas de direction ni de sens ;
• l'opposé $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$ : même direction, même norme, sens contraire.

Somme de vecteurs et relation de Chasles

Additionner deux déplacements, c'est les enchaîner : je vais de $A$ à $B$, puis de $B$ à $C$, au total je suis allé de $A$ à $C$. C'est exactement la relation de Chasles, la formule la plus utilisée du chapitre :

Le mécanisme est visuel : le point d'arrivée du premier vecteur ($B$) doit être le point de départ du second. Les « $B$ » intermédiaires se simplifient, il ne reste que le départ $A$ et l'arrivée $C$.

Quand les deux vecteurs partent du même point, on utilise plutôt la règle du parallélogramme. Si $ABDC$ est un parallélogramme :

La somme est la diagonale issue du point commun. Les deux règles sont cohérentes : le parallélogramme n'est qu'une façon de « ramener » les deux vecteurs bout à bout.

On sait aussi multiplier un vecteur par un nombre réel $k$ (un scalaire). Le vecteur $k\,\vec{u}$ a :

• la même direction que $\vec{u}$ ;
• une norme multipliée par $|k|$ ;
• le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$.

Par exemple $2\vec{u}$ est deux fois plus long, dans le même sens ; $-\tfrac{1}{2}\vec{u}$ est deux fois plus court, dans le sens opposé. Cette opération est la clé de la colinéarité, qu'on verra plus bas.

Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Tout devient calculatoire dès qu'on se place dans un repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$. Un vecteur $\vec{u}$ y possède un unique couple de coordonnées $(x\,;y)$, qui vérifie $\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}$. On note $\vec{u}(x\,;y)$.

La formule à graver, celle qui revient dans chaque exercice, donne les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ à partir de celles des points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ :

Les opérations se lisent alors composante par composante. Pour $\vec{u}(x\,;y)$, $\vec{v}(x'\,;y')$ et un réel $k$ :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont exactement les mêmes coordonnées. C'est cette équivalence qui te permettra de prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme par le calcul, sans figure exacte.

Norme et milieu par les coordonnées

La norme, c'est Pythagore

Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité), la norme d'un vecteur se calcule avec le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par ses composantes. Pour $\vec{u}(x\,;y)$ :

Cette seconde forme est aussi la distance $AB$ : la longueur d'un segment et la norme du vecteur associé sont un seul et même nombre. La norme est toujours $\geq 0$, et elle vaut $0$ uniquement pour le vecteur nul.

Le milieu d'un segment

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$ :

Cette formule se démontre en une ligne avec les vecteurs : $I$ est le milieu de $[AB]$ signifie exactement $\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, ce qui redonne la moyenne en coordonnées. C'est un bon exemple de ce que les vecteurs apportent : une définition claire (« le milieu, c'est la moitié du déplacement ») qui produit directement une formule de calcul.

Colinéarité : le critère du déterminant

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires quand ils ont la même direction, c'est-à-dire quand l'un est un multiple de l'autre : il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$. C'est la notion vectorielle du parallélisme.

Tester « existe-t-il un $k$ ? » à la main est pénible. Heureusement, en coordonnées, il existe un critère immédiat. Pour $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$, on appelle déterminant le nombre :

Pour ne pas te tromper dans le calcul, dispose les coordonnées en colonnes et fais les produits en croix :

Ce petit calcul débloque deux des questions les plus fréquentes en géométrie :

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de Seconde, les mêmes fautes reviennent chaque année. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X et l'ENS, les repèrent au premier coup d'œil : autant les éliminer tout de suite.

1. Inverser « arrivée moins départ ». Pour $\overrightarrow{AB}$, on calcule $x_B - x_A$, pas $x_A - x_B$. L'erreur d'ordre change le signe des deux coordonnées et donne le vecteur opposé. Écris toujours le point d'arrivée en premier dans la soustraction.
2. Se tromper de lettres dans le parallélogramme. $ABCD$ parallélogramme équivaut à $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, pas $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Un bon test : les sommets se lisent « dans l'ordre » autour de la figure.
3. Confondre colinéaires et égaux. Colinéaires = même direction (l'un est un multiple de l'autre). Égaux = mêmes coordonnées, donc aussi même norme et même sens. Deux vecteurs colinéaires peuvent avoir des longueurs très différentes.
4. Croiser le déterminant à l'envers. $\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - yx'$. Beaucoup écrivent $xy' - x'y$ (juste) mais oublient le signe, ou mélangent les colonnes. Pose les vecteurs en colonnes et fais la diagonale descendante moins la diagonale montante.
5. Oublier « orthonormé » pour la norme. La formule $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, elle est fausse. Au lycée le repère est presque toujours orthonormé, mais c'est l'hypothèse à ne pas oublier de citer.

4 exercices corrigés · Seconde vers Première

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$.

Exercice 1, Coordonnées et norme · Seconde

Énoncé. On donne $A(-1\,;2)$ et $B(3\,;5)$. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ puis sa norme.

Solution. « Arrivée moins départ » :

Puis la norme par Pythagore :

La distance $AB$ vaut donc $5$.

Exercice 2, Prouver un parallélogramme · Seconde

Énoncé. On donne $A(1\,;1)$, $B(4\,;2)$, $C(5\,;5)$ et $D(2\,;4)$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

Solution. Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. On calcule les deux vecteurs :

Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Exercice 3, Alignement par le déterminant · Seconde vers Première

Énoncé. On donne $A(-2\,;1)$, $B(1\,;3)$ et $C(7\,;7)$. Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?

Solution. Trois points sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On calcule :

On teste le déterminant :

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. On vérifie l'intuition : $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$, $C$ est trois fois plus loin que $B$ sur la même droite.

Exercice 4, Quatrième sommet et intersection · Première

Énoncé. On donne $A(0\,;1)$, $B(4\,;3)$ et $C(6\,;-1)$. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, puis les coordonnées du centre $I$ de ce parallélogramme.

Solution. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Notons $D(x\,;y)$. On a :

L'égalité des coordonnées donne le système :

Donc $D(2\,;-3)$. Le centre $I$ d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales, c'est-à-dire le milieu commun de $[AC]$ et de $[BD]$. On le calcule avec $[AC]$ :

Contrôle avec l'autre diagonale $[BD]$ : $\left(\frac{4 + 2}{2}\,;\frac{3 + (-3)}{2}\right) = (3\,;0)$. On retrouve bien le même point, le calcul est validé.

Ce type de raisonnement (traduire une figure en égalités de coordonnées, résoudre un système) est exactement ce que tu réutiliseras en Première avec le produit scalaire, qui ajoute aux vecteurs la notion d'angle et d'orthogonalité.

Ce qu'il faut retenir

• Définition : un vecteur = direction + sens + norme. Il code un déplacement, pas une position. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow ABCD$ parallélogramme.
• Somme : relation de Chasles $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ; règle du parallélogramme quand les vecteurs partent du même point.
• Coordonnées : $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$, « arrivée moins départ ». Opérations composante par composante.
• Norme (repère orthonormé) : $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Milieu : moyenne des coordonnées.
• Colinéarité : $\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - yx' = 0$. Le test-clé pour parallélisme et alignement.

Les vecteurs sont l'un des chapitres les plus rentables de la Seconde, car tout le reste s'appuie dessus. En Première, ils portent le produit scalaire et les équations de droites. En Terminale et en prépa, ils deviennent des vecteurs de l'espace puis des espaces vectoriels abstraits, où le déterminant que tu viens d'apprendre annonce déjà l'algèbre linéaire de MPSI. La même idée, la colinéarité, structure des pans entiers du programme de prépa.

Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de maths et physique de Seconde. Et pour un autre outil roi de la géométrie repérée, le théorème de Thalès partage avec les vecteurs la même logique de proportionnalité et d'alignement.