Théorème des valeurs intermédiaires : TVI et exercices

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est l'outil qui te permet d'affirmer qu'une équation a une solution alors même que tu es incapable de la calculer. C'est toute sa puissance : pour une équation comme $x^3 + x - 1 = 0$, aucune formule ne donne la racine, mais le TVI prouve en trois lignes qu'elle existe, qu'elle est unique, et la dichotomie l'encadre aussi finement que tu veux.

Cet article te donne tout : l'énoncé exact et le rôle central de la continuité, le corollaire de la bijection qui transforme « au moins une solution » en « une unique solution », la rédaction type que les correcteurs attendent au mot près, la méthode du balayage puis dichotomie, les erreurs qui coûtent des points, et 4 exercices corrigés du bac à la prépa. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes oublis de rédaction sur les copies, on les liste pour que tu les évites.

L'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que :

En clair : une fonction continue ne peut pas « sauter » une valeur. Si elle vaut $f(a)$ en $a$ et $f(b)$ en $b$, elle est obligée de passer par toutes les hauteurs intermédiaires quelque part entre $a$ et $b$. Graphiquement, si tu traces l'horizontale $y = k$ entre les deux niveaux $f(a)$ et $f(b)$, la courbe la coupe au moins une fois.

Un cas particulier revient tout le temps : celui où $k = 0$. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (donc $0$ est entre les deux), alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a, b]$. C'est la version « changement de signe » du TVI, la plus utilisée en exercice.

Le théorème s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés : sur $]a, b[$, $[a, +\infty[$ ou $\mathbb{R}$, on remplace $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes. Par exemple, si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ avec $\lim_{x \to -\infty} f = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f = +\infty$, alors $f$ prend toute valeur réelle.

Idée de la démonstration · dichotomie

Au bac, le TVI est admis : tu n'as pas à le démontrer. Mais comprendre pourquoi il est vrai t'aide à ne jamais oublier l'hypothèse de continuité, et l'argument est exactement la méthode de la dichotomie que tu utiliseras en exercice. Plaçons-nous dans le cas $f(a) < k < f(b)$.

Le principe. On coupe l'intervalle en deux au milieu $m = \dfrac{a+b}{2}$ et on regarde $f(m)$ :

• si $f(m) = k$, c'est gagné, on a trouvé la solution ;
• si $f(m) > k$, la valeur $k$ est « coincée » entre $f(a)$ et $f(m)$ : on garde la moitié gauche $[a, m]$ ;
• si $f(m) < k$, on garde la moitié droite $[m, b]$.

On répète. À chaque étape, on construit un intervalle deux fois plus petit qui contient toujours la valeur cherchée à ses bornes. La longueur tend vers $0$, les deux bornes se rapprochent d'un même point $c$, et par continuité de $f$, la valeur $f(c)$ est coincée sur $k$. C'est ce point $c$ qui vérifie $f(c) = k$.

Le corollaire de la bijection · l'unicité

Le TVI seul dit « au moins une solution ». Mais un énoncé de bac demande presque toujours « une unique solution ». C'est le rôle du corollaire, appelé théorème de la bijection.

Soit $f$ continue et strictement monotone sur $[a, b]$. Alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $c$ dans $[a, b]$.

Pourquoi la monotonie donne l'unicité ? Si $f$ est strictement croissante, deux réels distincts ont des images distinctes ($x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$). La valeur $k$ ne peut donc être atteinte que par un seul antécédent. Sans monotonie, la courbe pourrait redescendre et recouper la droite $y = k$ plusieurs fois.

Comment prouve-t-on la stricte monotonie en pratique ? Presque toujours avec la dérivée : on montre que $f'$ garde un signe constant (et ne s'annule qu'en des points isolés). Un $f' > 0$ sur l'intervalle donne $f$ strictement croissante. C'est le pont naturel entre ce chapitre et celui de la dérivation et de l'étude des variations.

Le corollaire s'étend aux intervalles ouverts ou non bornés $]a, b[$ en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes. Exemple : $f$ continue strictement croissante sur $]a, b[$, de limite $-\infty$ en $a$ et $+\infty$ en $b$, réalise une bijection de $]a, b[$ sur $\mathbb{R}$. Le calcul de ces bornes fait appel au chapitre des limites de suites et de fonctions.

La méthode pour rédiger « f(x) = k a une solution unique »

C'est la question type. Le correcteur attend une rédaction en quatre temps, dans cet ordre. Manquer une étape, c'est perdre des points même avec le bon résultat.

L'exemple pivot : $x^3 + x - 1 = 0$

Montrons que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution réelle. Posons $f(x) = x^3 + x - 1$ et déroulons la méthode en quatre temps.

1. Continuité. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.

2. Monotonie. $f'(x) = 3x^2 + 1$. Comme $3x^2 \geq 0$, on a $f'(x) \geq 1 > 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Valeurs aux bornes. On travaille sur $\mathbb{R}$, donc on regarde les limites :

La valeur $0$ est bien comprise entre $-\infty$ et $+\infty$.

4. Conclusion. $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec des limites $-\infty$ et $+\infty$. D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}$.

On la localise. Calculons $f$ en quelques entiers : $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1 > 0$. Comme $f$ change de signe entre $0$ et $1$, la solution vérifie $\alpha \in \, ]0, 1[$.

Approcher la solution : balayage puis dichotomie

Une fois l'existence prouvée, on veut souvent une valeur approchée. Deux méthodes, de plus en plus précises, sur notre exemple $f(x) = x^3 + x - 1$ avec $\alpha \in \,]0, 1[$.

1. Le balayage (au dixième)

On calcule $f$ de $0{,}1$ en $0{,}1$ jusqu'au changement de signe :

Le signe change entre $0{,}6$ et $0{,}7$, donc $\alpha \in \, ]0{,}6\,;\,0{,}7[$. On a un encadrement à $10^{-1}$ près : $\alpha \approx 0{,}6$.

2. La dichotomie (on double la précision à chaque pas)

On reprend l'intervalle $[0{,}6\,;\,0{,}7]$ et on teste le milieu $0{,}65$ : $f(0{,}65) = 0{,}65^3 + 0{,}65 - 1 \approx -0{,}075 < 0$. Le signe change entre $0{,}65$ et $0{,}7$, on garde cette moitié. Puis milieu $0{,}675$, etc. Chaque étape divise par deux la largeur de l'intervalle.

En poursuivant, $f(0{,}68) \approx -0{,}006 < 0$ et $f(0{,}69) \approx +0{,}019 > 0$, donc :

5 erreurs classiques à éviter

Autour du TVI, ce sont presque toujours des erreurs de rédaction, pas de calcul, qui coûtent des points. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, les corrigent chaque année sur les mêmes lignes.

1. Oublier de justifier la continuité. Le TVI ne fonctionne que pour une fonction continue. Écris toujours la phrase « $f$ est continue sur $I$ comme somme / produit / quotient / composée de fonctions continues ». Sans elle, la conclusion n'est pas fondée.
2. Confondre « au moins une » et « une unique ». Le TVI seul donne l'existence. Pour l'unicité, il faut en plus la stricte monotonie. Si l'énoncé dit « unique » et que tu n'as parlé que de continuité, il te manque la moitié de la preuve.
3. Vérifier que $k$ est entre les bornes… sans le vérifier vraiment. Il faut que $k$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Si $k$ est en dehors de cet intervalle de valeurs, le TVI ne dit rien. Encadre proprement : $f(a) < k < f(b)$ (ou l'inverse).
4. Appliquer le TVI à une fonction avec un saut. La partie entière, une fonction définie par morceaux avec un décrochage, une fonction non définie en un point de l'intervalle : pas de continuité, pas de TVI. Vérifie que l'intervalle de continuité est le bon.
5. Croire que la monotonie sur tout $\mathbb{R}$ est toujours vraie. Beaucoup de fonctions ne sont monotones que par morceaux. Il faut alors découper selon le tableau de variations et appliquer le corollaire sur chaque intervalle où $f$ est strictement monotone — c'est ainsi qu'on compte plusieurs solutions.

4 exercices corrigés · Terminale → prépa

Exercice 1 · existence et unicité, niveau Terminale

Énoncé. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $[0, 1]$.

Solution. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. La fonction $f$ est un polynôme, donc continue sur $[0, 1]$. On dérive : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$. Aux bornes : $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, et $0$ est compris entre $-1$ et $1$. D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[0, 1]$. $\blacksquare$

Exercice 2 · compter les solutions, niveau Terminale

Énoncé. Déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$.

Solution. Soit $g(x) = x^3 - 3x + 1$, continue sur $\mathbb{R}$. On dérive : $g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, qui s'annule en $-1$ et $1$. On calcule $g(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ et $g(1) = 1 - 3 + 1 = -1$. Tableau de variations :

Sur chacun des trois intervalles, $g$ est continue et strictement monotone, et $0$ est compris entre les valeurs aux bornes : le corollaire du TVI donne une solution par intervalle. L'équation admet donc exactement 3 solutions réelles. $\blacksquare$

Exercice 3 · dichotomie, niveau Terminale

Énoncé. On admet que l'équation $e^x = 3 - x$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[0, 1]$. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près par dichotomie.

Solution. On pose $h(x) = e^x + x - 3$ (continue sur $[0, 1]$), et on cherche $h(x) = 0$. On a $h(0) = 1 - 3 = -2 < 0$ et $h(1) = e + 1 - 3 = e - 2 \approx 0{,}718 > 0$. Milieu $0{,}5$ : $h(0{,}5) = e^{0{,}5} + 0{,}5 - 3 \approx -0{,}851 < 0$, on garde $[0{,}5\,;\,1]$. Milieu $0{,}75$ : $h(0{,}75) \approx e^{0{,}75} - 2{,}25 \approx -0{,}133 < 0$, on garde $[0{,}75\,;\,1]$. Milieu $0{,}875$ : $h(0{,}875) \approx e^{0{,}875} - 2{,}125 \approx +0{,}274 > 0$, on garde $[0{,}75\,;\,0{,}875]$. Milieu $0{,}8125$ : $h(0{,}8125) \approx e^{0{,}8125} - 2{,}1875 \approx +0{,}066 > 0$, on garde $[0{,}75\,;\,0{,}8125]$, de largeur $< 0{,}1$ :

À chaque étape, la largeur de l'intervalle est divisée par deux : la dichotomie converge vite. $\blacksquare$

Exercice 4 · point fixe, niveau MPSI / PCSI

Énoncé. Soit $f$ une fonction continue de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$. Montrer qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = c$ (un point fixe).

Solution. L'astuce classique : on ne travaille pas sur $f$, mais sur la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$. Comme $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que $x \mapsto x$ l'est aussi, $g$ est continue sur $[0, 1]$. Évaluons aux bornes :

car $f$ est à valeurs dans $[0, 1]$, donc $f(0) \geq 0$ et $f(1) \leq 1$. Ainsi $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$. Par le TVI, il existe $c \in [0, 1]$ tel que $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = c$. $\blacksquare$

Cet exercice illustre le réflexe le plus rentable du chapitre : ramener une égalité $f(x) = \varphi(x)$ à l'annulation d'une fonction auxiliaire $g = f - \varphi$, puis appliquer le TVI à $g$. On le retrouve partout en prépa, du théorème du point fixe aux études d'équations dans les chapitres d'analyse de Terminale et de première année.

Ce qu'il faut retenir

• Le TVI : $f$ continue sur $[a, b]$ prend toute valeur $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ — au moins une solution à $f(x) = k$. La continuité est l'hypothèse non négociable.
• Le corollaire de la bijection : continuité plus stricte monotonie donnent une unique solution. Continuité = existence, monotonie = unicité.
• La rédaction type en 4 temps : continuité, monotonie (souvent via la dérivée), valeurs / limites aux bornes, conclusion.
• Compter les solutions : découper selon le tableau de variations et appliquer le corollaire sur chaque intervalle strictement monotone.
• Approcher la solution : balayage pour trouver le bon intervalle, dichotomie pour l'affiner (largeur divisée par deux à chaque pas).
• Le réflexe d'or : ramener $f(x) = \varphi(x)$ à l'annulation de $g = f - \varphi$, puis appliquer le TVI à $g$.

Le TVI relie trois chapitres qui structurent l'analyse de Terminale : la dérivation (pour la monotonie), les limites (pour les bornes des intervalles ouverts) et la continuité. Le maîtriser, c'est débloquer toutes les questions « montrer que l'équation admet une solution » du bac comme des concours.