Limites de suites et de fonctions : méthode et exercices

Calculer une limite, c'est répondre à une seule question : vers quoi tend l'expression quand la variable file vers l'infini, ou se rapproche d'un point ? Une suite peut converger vers un nombre, exploser vers $+\infty$, ou osciller sans se fixer. Une fonction fait pareil au bord de son domaine. Tout le calcul de limites tient là-dedans, et l'obstacle est toujours le même : les formes indéterminées.

La notion de limite : suites et fonctions

Pour une suite $(u_n)$, on regarde son comportement quand $n \to +\infty$ (c'est la seule limite possible, l'indice ne fait que grandir). Trois scénarios :

• Limite finie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$. La suite converge vers $\ell$, ses termes s'accumulent autour de $\ell$.
• Limite infinie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (ou $-\infty$). La suite diverge vers l'infini.
• Pas de limite : la suite oscille, comme $u_n = (-1)^n$ qui saute entre $-1$ et $1$ sans se fixer.

Pour une fonction $f$, on peut étudier la limite en $+\infty$, en $-\infty$, ou en un réel $a$ (souvent une valeur interdite du domaine). L'idée est la même : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche autant qu'on veut de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$.

Deux limites de référence à connaître par cœur, moteurs de presque tous les calculs :

Les opérations sur les limites

Dans la très grande majorité des cas, la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient se calcule membre par membre. Si $f \to \ell$ et $g \to \ell'$ (finis), alors $f + g \to \ell + \ell'$, $fg \to \ell\ell'$, et $f/g \to \ell/\ell'$ (à condition que $\ell' \neq 0$). Rien de subtil.

Quand l'infini entre en jeu, la plupart des règles restent intuitives : « un nombre positif $+\infty$ donne $+\infty$ », « $(+\infty) \times (+\infty) = +\infty$ », « un nombre fini divisé par $\pm\infty$ donne $0$ ». Le problème n'apparaît que dans quatre configurations où deux effets se combattent.

Lever une forme indéterminée : les trois réflexes

« Indéterminée » ne signifie pas « sans limite ». Ça signifie que l'écriture brute ne permet pas de conclure : il faut la réécrire. Trois techniques couvrent l'essentiel du bac.

Réflexe 1 · Factoriser par le terme dominant

Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $\pm\infty$, on met en facteur le terme de plus haut degré. Rappel de cours : en l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

Réflexe 2 · Multiplier par la quantité conjuguée

Dès qu'une différence contient une racine carrée et donne « $\infty - \infty$ », on multiplie et divise par l'expression conjuguée (on remplace le $-$ par un $+$) pour utiliser l'identité $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$. La racine disparaît au numérateur.

Réflexe 3 · Les croissances comparées

Quand exponentielle, puissance et logarithme se disputent l'infini (par exemple $\frac{e^x}{x^2}$ ou $x \ln x$), les règles de degré ne suffisent plus : on invoque les croissances comparées, détaillées dans la section suivante.

Croissances comparées : qui l'emporte à l'infini

Les croissances comparées classent les fonctions par vitesse de divergence. La hiérarchie tient en une phrase : l'exponentielle écrase la puissance, qui écrase le logarithme. Les résultats exigibles en Terminale :

Le théorème des gendarmes

Certaines expressions oscillent et n'ont pas de comportement « propre » : $\sin(n)$, $\cos(x)$, $(-1)^n$. Impossible de leur appliquer les opérations directes. On les traite par encadrement.

Théorème des gendarmes. Si, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n \leq w_n$ et si $\lim u_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim v_n = \ell$. La suite du milieu est escortée par ses deux gendarmes vers la même limite. Version fonction : si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ près de $a$ et $g, h \to \ell$, alors $f \to \ell$.

L'exemple canonique : $\dfrac{\sin(n)}{n}$. Comme $-1 \leq \sin(n) \leq 1$, on encadre pour $n > 0$ :

Les deux gendarmes $-\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n}$ tendent vers $0$, donc $\dfrac{\sin(n)}{n} \to 0$.

Des limites aux asymptotes

Une asymptote est une droite dont la courbe de $f$ se rapproche indéfiniment. Chaque type d'asymptote se lit directement sur une limite : c'est l'application géométrique immédiate du calcul de limites.

L'asymptote verticale se cherche aux valeurs interdites du domaine (dénominateur nul, $\ln$ en $0$). L'asymptote oblique se prouve en montrant que la différence entre la courbe et la droite s'annule à l'infini. Ces études de limites sont aussi le socle des raisonnements de continuité, comme dans le théorème des valeurs intermédiaires où l'on utilise les limites aux bornes pour localiser une solution.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et de bac, les mêmes fautes de limites reviennent chaque année. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X et CentraleSupélec, les traquent dès les premières séances.

1. Écrire « $\infty - \infty = 0$ ». Faux et sanctionné : c'est une forme indéterminée, pas une soustraction de nombres. Il faut factoriser ou conjuguer avant de conclure.
2. Confondre « pas de limite » et « limite infinie ». $(-1)^n$ n'a pas de limite (elle oscille) ; $n^2$ a pour limite $+\infty$. Diverger vers l'infini reste avoir une limite ; osciller, non.
3. Appliquer les degrés à l'exponentielle. $\frac{e^x}{x^{10}}$ ne tend pas vers $0$ sous prétexte que « le bas croît » : $e^x$ écrase toute puissance, la limite est $+\infty$. Réflexe croissances comparées obligatoire.
4. Oublier le signe du dénominateur qui tend vers $0$. Pour $\frac{1}{x}$ en $0$, il faut distinguer $0^+$ (limite $+\infty$) et $0^-$ (limite $-\infty$). Sans le signe, l'asymptote verticale est mal décrite.
5. Utiliser les gendarmes avec un seul gendarme pour une limite finie. Un encadrement à une seule borne ne prouve rien sur une limite finie. Il faut deux bornes qui convergent vers la même valeur.

4 exercices corrigés · Terminale → prépa

Exercice 1 · Suite rationnelle, niveau Terminale

Énoncé. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$ où $u_n = \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 + 5}$.

Solution. On est en présence d'une FI « $\infty/\infty$ ». On factorise haut et bas par le terme dominant $n^2$ :

Chaque terme en $\frac{1}{n}$ ou $\frac{1}{n^2}$ tend vers $0$, donc $u_n \to \dfrac{3}{1} = 3$. La suite converge vers $3$.

Exercice 2 · Quantité conjuguée, niveau Terminale

Énoncé. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)$.

Solution. C'est une FI « $\infty - \infty$ » avec une racine : on multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2 + x} + x$. Pour $x > 0$ :

On factorise ensuite par $x$ (avec $\sqrt{x^2} = x$ car $x > 0$) :

La limite vaut $\dfrac{1}{2}$. Résultat contre-intuitif : la différence de deux quantités qui explosent reste finie.

Exercice 3 · Croissances comparées, niveau Terminale

Énoncé. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(x - \ln x\bigr)$, puis $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^2}{e^x + x}$.

Première limite. FI « $\infty - \infty$ ». On factorise par $x$ :

Par croissances comparées, $\frac{\ln x}{x} \to 0$, donc le facteur entre parenthèses tend vers $1$, et $x \to +\infty$. Le produit tend vers $+\infty$.

Seconde limite. FI « $\infty/\infty$ ». On factorise haut et bas par $e^x$, le champion :

Par croissances comparées, $\frac{x^2}{e^x} \to 0$ et $\frac{x}{e^x} \to 0$. La limite vaut $\dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.

Exercice 4 · Gendarmes, niveau Terminale / prépa

Énoncé. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0$, puis étudier $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\frac{1}{x}\right)$.

Première limite. Comme $-1 \leq \cos x \leq 1$, pour $x > 0$ on encadre :

Les deux gendarmes tendent vers $0$, donc $\dfrac{\cos x}{x} \to 0$ par le théorème des gendarmes.

Seconde limite. Le terme $\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)$ oscille sans limite quand $x \to 0$, mais il reste borné. On encadre avec $\left|\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq 1$ :

Comme $x^2 \to 0$ et $-x^2 \to 0$ quand $x \to 0$, les gendarmes donnent $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \cos\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0$. C'est le type d'encadrement « produit d'un terme qui s'annule par un terme borné » qu'on retrouve intact aux oraux de première année, à l'X comme à CentraleSupélec.

Ce qu'il faut retenir

• La limite décrit un comportement à l'infini (suites et fonctions) ou près d'un point (fonctions) : finie, infinie, ou inexistante.
• Les opérations se font membre par membre, sauf dans les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.
• Trois réflexes pour les lever : factoriser par le terme dominant, multiplier par la quantité conjuguée, appliquer les croissances comparées.
• Croissances comparées : $e^x$ écrase $x^n$, qui écrase $\ln x$. La phrase règle la moitié des exercices de Terminale.
• Le théorème des gendarmes encadre les termes oscillants ($\sin$, $\cos$) entre deux bornes qui convergent vers la même limite.
• Les asymptotes (horizontale, verticale, oblique) se lisent directement sur les limites de la fonction.

Les limites sont un pilier de l'analyse : elles conditionnent la continuité, la dérivabilité et l'étude complète des fonctions. Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de spécialité maths et physique en Terminale. Solides sur les limites, tu abordes la prépa scientifique avec un vrai temps d'avance.