Dérivée : formules, calcul et exercices corrigés

La dérivée est l'outil qui transforme une courbe compliquée en information simple : ça monte, ça descend, ça plafonne. En un point, la dérivée te donne la pente exacte de la courbe, c'est-à-dire le coefficient directeur de sa tangente. Une fois que tu sais dériver, tu lis les variations d'une fonction, tu trouves ses maximums, tu écris ses tangentes, sans jamais tracer la courbe à l'aveugle.

Cet article te donne tout, dans l'ordre où on l'utilise : le nombre dérivé et la tangente, le tableau des formules usuelles à connaître par cœur, les opérations (somme, produit, quotient, composée) qui débloquent n'importe quelle fonction, le passage du signe de la dérivée aux variations, et quatre exercices corrigés de niveau croissant. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes erreurs de dérivation chaque année, on les liste pour que tu les évites.

Nombre dérivé et tangente

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ mesure la pente moyenne de la courbe entre ces deux points :

On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque ce taux admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$. Cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ :

Géométriquement, quand $h$ devient minuscule, la droite qui joint les points d'abscisses $a$ et $a + h$ se rapproche de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Le nombre dérivé $f'(a)$ est donc le coefficient directeur de cette tangente. L'équation de la tangente en $a$ s'écrit :

La fonction dérivée et les formules usuelles

Quand $f$ est dérivable en tout point de $I$, on définit la fonction dérivée $f'$ qui, à chaque $x$, associe le nombre dérivé $f'(x)$. Plutôt que de repasser par la limite à chaque fois, on utilise un catalogue de formules à mémoriser. Voici les dérivées usuelles, valables sur tout intervalle où elles ont un sens.

Deux repères pour ne pas confondre. La dérivée de $\sqrt{x}$ n'existe pas en $0$ : la tangente y est verticale. Et $\cos$ « attrape » un signe moins en se dérivant, alors que $\sin$ non, c'est l'erreur de signe la plus courante du chapitre.

Démonstration · la dérivée de $x^2$ par la limite

Pour comprendre d'où viennent les formules du tableau, on en démontre une à la main, à partir de la définition. Montrons que la dérivée de $f(x) = x^2$ est $f'(x) = 2x$. C'est la démonstration-type qu'on te demande de refaire en Première puis en prépa.

Étape 1, taux d'accroissement. On fixe $x \in \mathbb{R}$ et $h \neq 0$, puis on développe $f(x + h)$ :

Étape 2, on simplifie. Le $x^2$ disparaît, et on factorise $h$ au numérateur pour l'éliminer avec le dénominateur :

Étape 3, on passe à la limite. Quand $h \to 0$, le terme $2x + h$ tend vers $2x$. Cette limite est finie, donc $f$ est dérivable en $x$ et :

Dériver une somme, un produit, un quotient, une composée

Les formules usuelles ne suffisent pas seules : une vraie fonction combine plusieurs briques. Les règles d'opérations disent comment dériver ces combinaisons. On note $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ une constante.

Deux cas de composée reviennent en boucle et méritent d'être connus directement. Le cas affine $u(x) = ax + b$ (donc $u' = a$) :

Et les composées usuelles avec une fonction $u$ quelconque, qui condensent toute la chaîne de dérivation :

L'exemple pivot : $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$

On dérive une fraction, l'exercice qui teste d'un coup le quotient et la rigueur de calcul. La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ car le dénominateur $x^2 + 1$ ne s'annule jamais.

Identification. On pose $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = x^2 + 1$. On calcule d'abord les dérivées séparément :

Application de la formule du quotient. On écrit $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ en respectant l'ordre du numérateur :

On développe le numérateur avec soin, sans oublier de distribuer le signe moins :

D'où le résultat, qu'on peut factoriser par $-2$ pour préparer l'étude de signe :

Du signe de la dérivée aux variations

Voilà l'usage numéro un de la dérivée. Sur un intervalle $I$ où $f$ est dérivable, le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$ :

• Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
• Là où $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ présente un extremum local (maximum ou minimum).

La méthode est toujours la même : on calcule $f'$, on étudie son signe, puis on en déduit le tableau de variations. Prenons $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$. On dérive : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3\,(x - 1)(x + 1)$. Ce trinôme s'annule en $-1$ et $1$, et il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

On lit un maximum local en $x = -1$ avec $f(-1) = 2$, et un minimum local en $x = 1$ avec $f(1) = -2$. Sans tracer la courbe, on connaît déjà toute sa forme. C'est exactement ce que le bac attend dans les études de fonction.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS, de khôlles et de bac, les mêmes fautes de dérivation reviennent saison après saison. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par CentraleSupélec et les Mines Paris, les traquent dès les premiers devoirs de Première.

1. Oublier le $u'$ de la composée. Écrire $\left(e^{x^2}\right)' = e^{x^2}$ au lieu de $2x\,e^{x^2}$. La dérivée de l'intérieur $u' = 2x$ doit toujours multiplier. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.
2. Se tromper de signe dans le quotient. Le numérateur est $u'v - uv'$, dans cet ordre. Beaucoup écrivent $uv' - u'v$ et inversent tout le signe de la dérivée, donc les variations.
3. Confondre $\sin$ et $\cos$ sur les signes. $(\sin x)' = \cos x$ (pas de signe moins), mais $(\cos x)' = -\sin x$ (avec un moins). L'inversion fausse tout calcul de tangente ou de variation.
4. Dériver un produit comme $u'v'$. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. C'est $u'v + uv'$, la somme des deux termes croisés. Erreur fréquente sous la pression du temps.
5. Conclure un extremum dès que $f'$ s'annule. Il faut que $f'$ change de signe. Sans changement de signe, pas d'extremum, seulement un point à tangente horizontale, comme $x^3$ en $0$.

4 exercices corrigés · Première → Terminale

Exercice 1, Niveau Première

Énoncé. Soit $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$. Calculer $f'(x)$, puis donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a = 1$.

Solution. On dérive terme à terme avec $\left(x^2\right)' = 2x$ et $(x)' = 1$ :

On calcule ensuite $f(1) = 3 - 5 + 2 = 0$ et $f'(1) = 6 - 5 = 1$. La tangente $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ en $a = 1$ vaut :

Exercice 2, Produit et quotient, niveau Première

Énoncé. Dériver $g(x) = (3x - 1)(x^2 + 4)$ et $h(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur leur domaine.

Solution du produit. Avec $u = 3x - 1$, $v = x^2 + 4$, donc $u' = 3$, $v' = 2x$. On applique $u'v + uv'$ :

Solution du quotient (sur $x \neq 3$). Avec $u = 2x + 1$, $v = x - 3$, donc $u' = 2$, $v' = 1$. On applique $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ :

Comme $-7 < 0$ et $(x - 3)^2 > 0$, la dérivée $h'$ est toujours négative : $h$ est décroissante sur $]-\infty, 3[$ et sur $]3, +\infty[$.

Exercice 3, Composée, niveau Terminale

Énoncé. Dériver $f(x) = e^{x^2 - 3x}$ et $g(x) = \ln\!\left(x^2 + 1\right)$ sur $\mathbb{R}$.

Solution. Pour $f$, on reconnaît $e^{u}$ avec $u = x^2 - 3x$, donc $u' = 2x - 3$. La formule $\left(e^{u}\right)' = u'\,e^{u}$ donne :

Pour $g$, on reconnaît $\ln u$ avec $u = x^2 + 1 > 0$, donc $u' = 2x$. La formule $\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}$ donne :

Bien retenir la mécanique de la composée aide aussi à maîtriser la fonction exponentielle, dont la dérivée se comporte toujours de la même façon.

Exercice 4, Étude de variations, niveau Terminale

Énoncé. Étudier les variations de $f(x) = (x - 1)\,e^{x}$ sur $\mathbb{R}$.

Solution. On dérive avec la formule du produit, $u = x - 1$ et $v = e^{x}$, donc $u' = 1$ et $v' = e^{x}$ :

Comme $e^{x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'$ est celui de $x$. Donc $f'(x) < 0$ sur $]-\infty, 0[$ et $f'(x) > 0$ sur $]0, +\infty[$.

$f$ admet un minimum en $x = 0$, avec $f(0) = (0 - 1)\,e^{0} = -1$. Cet enchaînement, dériver un produit puis lire le signe, est exactement le squelette d'une étude de fonction au bac, et le socle des chapitres d'analyse qui suivent, jusqu'au calcul intégral qui est l'opération inverse de la dérivation.

Ce qu'il faut retenir

• Le nombre dérivé $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ est la pente de la tangente en $a$. Tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• Les formules usuelles : $\left(x^n\right)' = n x^{n-1}$, $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $\left(e^x\right)' = e^x$, $\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
• Les opérations : $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, et la composée $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$, ne jamais oublier le $u'$.
• Le signe de $f'$ donne les variations : $f' > 0$ croissante, $f' < 0$ décroissante, extremum là où $f'$ s'annule en changeant de signe.
• Le réflexe : pour dériver une fraction, factoriser le numérateur, car le dénominateur au carré est toujours positif et sort de l'étude de signe.

La dérivation est la porte d'entrée de toute l'analyse : elle prépare les limites et croissances comparées, l'étude complète des fonctions, puis l'intégration en Terminale et en prépa. La maîtriser tôt, c'est débloquer la moitié des exercices d'analyse du bac.

Pour situer la dérivée dans l'ensemble du cursus, consulte notre panorama du programme de spécialité maths de Première et celui du programme de Terminale, où les fonctions et leurs dérivées occupent une place centrale.