Théorème de Thalès : énoncé, réciproque et exercices corrigés

Le théorème de Thalès est l'outil qui relie les longueurs dès que des droites parallèles coupent deux droites sécantes. Une hauteur d'immeuble impossible à mesurer, une longueur manquante dans une figure, un partage proportionnel : à chaque fois, ce sont les mêmes rapports égaux qui débloquent le calcul. C'est l'un des théorèmes les plus rentables du brevet, et il ne quitte plus jamais ton sac à maths jusqu'en prépa.

Cet article te donne tout : l'énoncé dans ses deux configurations (le triangle et le papillon), la formule des rapports, la démonstration accessible au collège par les aires, la réciproque pour prouver un parallélisme, la contraposée pour prouver qu'il n'y en a pas, les erreurs classiques qui coûtent des points au brevet, et 4 exercices corrigés de niveau croissant, du brevet à la 2de. Nos profs Hadamard, anciens de prépa passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes fautes d'appariement des sommets sur les copies, on les liste pour que tu les évites.

L'énoncé du théorème de Thalès

Le théorème se rencontre dans deux configurations qui sont, au fond, la même situation vue de deux façons. Dans les deux cas, deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.

Configuration triangle

Soit un triangle $ABC$. Soit $M$ un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$. Si $M$, $N$, $A$ sont placés de sorte que $M \in [AB]$, $N \in [AC]$, et si la droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, alors :

Autrement dit, le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$ : les trois côtés sont dans le même rapport. C'est cette configuration, avec les deux triangles emboîtés, que tu rencontres en premier, dès la 4e.

Configuration papillon

Ici, les deux droites sécantes se croisent en un point $A$, mais les points se répartissent de part et d'autre de $A$. Soit $(BM)$ et $(CN)$ deux droites sécantes en $A$, avec $B$ et $M$ de part et d'autre de $A$, et $C$ et $N$ de part et d'autre de $A$. Si $(BC)$ est parallèle à $(MN)$, alors :

La figure ressemble à deux triangles collés par la pointe, comme les ailes d'un papillon, d'où le nom. C'est la configuration ajoutée en 3e, où le théorème de Thalès devient un attendu du brevet.

Démonstration · par les aires

On peut justifier le théorème dans la configuration triangle avec un seul outil de collège : l'aire d'un triangle. L'idée est que deux triangles de même base et de même hauteur ont la même aire, et que deux triangles de même hauteur ont des aires proportionnelles à leurs bases.

On se place dans le triangle $ABC$ avec $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$. On veut montrer $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$.

Étape 1, deux aires proportionnelles aux bases. Les triangles $AMN$ et $MBN$ partagent la même hauteur issue de $N$ (la distance de $N$ à la droite $(AB)$). Leurs bases sont $AM$ et $MB$, portées par la même droite $(AB)$. Donc :

Étape 2, de l'autre côté. De la même façon, $AMN$ et $NCM$ partagent la hauteur issue de $M$ (distance de $M$ à $(AC)$), avec pour bases $AN$ et $NC$ sur la droite $(AC)$ :

Étape 3, le rôle du parallélisme. Les triangles $MBN$ et $NCM$ ont la même base $[MN]$. Comme $(MN) \parallel (BC)$, les points $B$ et $C$ sont à la même distance de la droite $(MN)$ : ces deux triangles ont donc la même hauteur relative à $[MN]$, donc la même aire :

Étape 4, on conclut. Les numérateurs des deux fractions des étapes 1 et 2 sont égaux (c'est $\text{aire}(AMN)$), et on vient de voir que les dénominateurs le sont aussi. Les fractions sont donc égales :

En ajoutant $1$ de chaque côté, $\dfrac{AM}{MB} + 1 = \dfrac{AM + MB}{MB} = \dfrac{AB}{MB}$, et de même à droite, on obtient $\dfrac{AB}{MB} = \dfrac{AC}{NC}$, puis en passant aux inverses et en réarrangeant : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$. Le troisième rapport $\dfrac{MN}{BC}$ se traite par une construction analogue (une parallèle menée par $N$), on l'admet ici. $\quad\blacksquare$

Réciproque et contraposée

Le théorème direct part du parallélisme pour donner l'égalité des rapports. La réciproque fait le chemin inverse : elle part des rapports pour prouver le parallélisme. C'est l'outil clé quand une question te demande « Montrer que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ ».

La réciproque du théorème de Thalès

Soit $A$, $M$, $B$ alignés et $A$, $N$, $C$ alignés. Si les points sont alignés dans le même ordre sur chaque droite (c'est-à-dire $M$ et $N$ « du même côté » par rapport à $A$), et si :

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. La condition d'ordre est essentielle : sans elle, deux rapports égaux peuvent correspondre à une figure où les droites se croisent.

La contraposée · prouver un NON-parallélisme

La contraposée est le pendant négatif de la réciproque. Points alignés dans le même ordre, si :

alors $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. C'est l'argument à sortir quand l'énoncé demande de justifier que deux droites ne sont pas parallèles : tu calcules les deux rapports, tu montres qu'ils diffèrent, tu conclus. Cette formulation par la contraposée est désormais explicite dans le nouveau programme du cycle 4, mais l'usage « montrer un non-parallélisme en comparant deux rapports » est demandé de longue date au collège.

Reconnaître la bonne configuration et bien appairer

Le vrai piège de Thalès n'est pas la formule, c'est de bien apparier les longueurs. Un seul réflexe le règle : chaque rapport se lit en partant du sommet commun $A$, du côté d'une même droite.

Trois colonnes, trois rapports, tous égaux. Chaque fraction met le petit segment issu de $A$ au numérateur et le grand au dénominateur. Le rapport $\dfrac{MN}{BC}$ n'a pas de sommet $A$ dedans, mais il suit la même logique « petit sur grand ».

5 erreurs classiques à éviter

Autour de Thalès, les copies de brevet et de 2de reproduisent les mêmes fautes. Les connaître, c'est déjà les éviter.

1. Mal apparier les sommets. Écrire $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN}$ (fraction inversée à droite) au lieu de $\dfrac{AN}{AC}$. Réflexe anti-erreur : chaque rapport part du sommet commun $A$, petit sur grand.
2. Appliquer Thalès sans parallèles. S'il n'y a pas deux droites parallèles clairement citées dans l'énoncé ou le codage de la figure, le théorème ne s'applique pas. Pas de parallèles, pas de Thalès.
3. Oublier l'alignement des points. Pour la réciproque surtout : si $M$, $A$, $B$ ne sont pas alignés, ou pas dans le bon ordre, la conclusion de parallélisme tombe. Il faut vérifier l'alignement et l'ordre.
4. Confondre théorème et réciproque. On utilise le théorème (parallèles connues) pour calculer une longueur, et la réciproque (rapports égaux) pour prouver un parallélisme. Utiliser l'un à la place de l'autre fait perdre tous les points de la question.
5. Conclure au parallélisme sans comparer les deux rapports. Pour la réciproque, il faut calculer $\dfrac{AM}{AB}$ ET $\dfrac{AN}{AC}$ séparément, puis constater l'égalité. Affirmer « c'est parallèle » sans ce double calcul n'est pas une démonstration.

4 exercices corrigés · brevet → 2de

Exercice 1, Configuration triangle · niveau brevet

Énoncé. Dans un triangle $ABC$, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AB = 9$ cm, $AM = 6$ cm, $AC = 12$ cm et $BC = 15$ cm. Calculer $AN$ et $MN$.

Solution. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, $A$, $N$, $C$ aussi, et $(MN) \parallel (BC)$ : le théorème de Thalès s'applique. Donc :

On calcule $AN$ avec le produit en croix : $AN = \dfrac{6 \times 12}{9} = \dfrac{72}{9} = 8$ cm. De même $MN = \dfrac{6 \times 15}{9} = \dfrac{90}{9} = 10$ cm.

Conclusion. $AN = 8$ cm et $MN = 10$ cm.

Exercice 2, Configuration papillon · niveau brevet

Énoncé. Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$. $B$ et $M$ sont de part et d'autre de $A$, $C$ et $N$ aussi. On sait que $(BC) \parallel (MN)$, avec $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 7$ cm et $AM = 10$ cm. Calculer $AN$ et $MN$.

Solution. On est en configuration papillon avec $(BC) \parallel (MN)$ : Thalès s'applique. Donc :

Le premier rapport vaut $\dfrac{10}{5} = 2$. Donc $AN = 2 \times 4 = 8$ cm et $MN = 2 \times 7 = 14$ cm.

Conclusion. $AN = 8$ cm et $MN = 14$ cm : le triangle $AMN$ est un agrandissement de rapport $2$ du triangle $ABC$.

Exercice 3, Réciproque · prouver un parallélisme

Énoncé. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, et $A$, $N$, $C$ aussi. On donne $AM = 4$ cm, $AB = 6$ cm, $AN = 6$ cm et $AC = 9$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Solution. On calcule les deux rapports séparément :

Les deux rapports sont égaux ($\tfrac{2}{3}$), et les points sont alignés dans le même ordre ($M$ entre $A$ et $B$, $N$ entre $A$ et $C$). Par la réciproque du théorème de Thalès, on conclut :

Conclusion. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Exercice 4, Contraposée · niveau 2de

Énoncé. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, $A$, $N$, $C$ aussi. On donne $AM = 3$ cm, $AB = 8$ cm, $AN = 4$ cm et $AC = 10$ cm. Démontrer que $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Solution. On compare les deux rapports :

Comme $0{,}375 \neq 0{,}4$, les deux rapports sont différents. Or si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait leur égalité. Par contraposée :

Conclusion. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. On retrouve le même raisonnement, cette fois pour lever un doute plutôt que pour calculer, exactement comme on croise Thalès et le théorème de Pythagore dès qu'une figure mêle parallèles et angles droits.

Ce qu'il faut retenir

• Le théorème : si $(MN) \parallel (BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, dans les deux configurations (triangle en 4e, papillon en 3e).
• La réciproque : si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ avec points alignés dans le même ordre, alors $(MN) \parallel (BC)$. Sert à prouver un parallélisme.
• La contraposée : si $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Sert à prouver un non-parallélisme.
• La démonstration par les aires met en lumière que c'est le parallélisme qui rend deux aires égales : sans lui, tout tombe.
• Le réflexe : chaque rapport part du sommet commun $A$, petit sur grand ; vérifie parallélisme et alignement avant d'écrire la formule.

Thalès n'est pas qu'un théorème du brevet : c'est le socle de la proportionnalité en géométrie, qu'on retrouve avec le projeté et les rapports de longueurs en 2de, puis derrière les vecteurs colinéaires et les homothéties au lycée. Le maîtriser tôt, c'est se libérer l'esprit pour tout ce qui vient ensuite. Pour l'ancrer, rien ne vaut de le travailler en parallèle des identités remarquables, l'autre grand automatisme de calcul du collège.

Pour situer Thalès dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de maths de 4e, notre guide du programme de 3e pour le brevet, et notre tour d'horizon du programme de 2de où Thalès prend toute sa dimension.