Annales sur Nombres complexes

Nombres complexes

Au programme

Les nombres complexes en spé sont essentiellement réinvestis : module et argument, exponentielle complexe, résolution d'équations, manipulation de séries et intégrales complexes, matrices à coefficients dans ℂ. Bloc transversal mobilisé en algèbre linéaire (diagonalisation), analyse (séries entières), probabilités (fonctions caractéristiques). Programme commun MP/PC/PSI/MPI.

Pourquoi c'est testé

5 sujets de concours dans notre base touchent aux nombres complexes en tant que tel, entre 2018 et 2024, chez Centrale-Supélec et Mines-Ponts. Pièges récurrents :

• Calculs dans ℝ alors que matrices complexes (jury Centrale-Supélec PSI 2018 : « les calculs ont trop souvent été fait dans le corps des réels alors que les matrices et scalaires étaient des nombres complexes ! »)
• Matrice symétrique à coefficients complexes diagonalisable : faux (jury Centrale-Supélec PSI 2018 : « Une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas nécessairement diagonalisable. C'est par contre toujours le cas pour une matrice symétrique à coefficients réels »)
• e^{itaX} = (e^{itX})^a en complexe (jury Centrale-Supélec PC 2020 : « Des candidats écrivent e^{itaX} = (e^{itX})^a, ce qui n'a pas de sens puisque e^{itX} est un complexe »)

Comment réviser

Trois axes :

1. Bien identifier le corps de base ℝ vs ℂ avant tout calcul d'espace propre, de polynôme caractéristique ou de produit scalaire. 2. Exponentielle complexe : (e^z)^n ≠ e^(nz) en général pour n non entier ; rester avec exp(z) et linéariser via Euler. 3. Travailler les sujets : Maths 1 Centrale-Supélec PSI 2018 (matrices complexes), Maths 2 Centrale-Supélec PC 2020 (fonctions caractéristiques et loi géométrique).