Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
7.35
Médiane
6.8
Écart-type
4.20
Q1 (25%)
3.9
Q3 (75%)
10.1
Candidats présents
3 507
sur 3 737 inscrits · 6.2% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet introduit à la transformation de Fourier des variables aléatoires réelles. On associe à la variable aléatoire X une fonction d'une variable réelle t ↦ φ_X(t) appelée fonction caractéristique. Dans le cas de variables aléatoires à densité, on obtient effectivement la transformée de Fourier (inverse) de la densité, mais le cas étudié ici est celui des variables aléatoires discrètes. Des parties importantes du programme d'analyse sont ainsi abordées : intégrales dépendant d'un paramètre,…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle(Q1-Q14)Difficile
I.A — Premières propriétés (théorème de transfert, P(X=x) vs P(e^{itX}=e^{itx}), encadrements, convergence normale, e^{itaX} = (e^{itX})^a). I.B — Trois exemples (loi géométrique, sommation série géométrique). I.C — Image de φ_X (modules complexes, e^{iθ}, somme nulle ne comporte que des termes nul…
- Partie II — Partie II — Fonction caractéristique et loi d'une variable aléatoire réelle(Q15-Q27)Très difficile
II.A — Première méthode (somme finie vs série, sinc, lien V_m(T) avec G(1/T)). II.B — Deuxième méthode (développement en série entière, calcul, hypothèses C^1, intégrales et critères de convergence).
- Partie III — Partie III — Régularité de φ_X(Q28-Q37)Très difficile
Étude de l'intégrabilité (X d'espérance finie / d'image finie / E(|X|^j) fini), preuve par majoration des sommes partielles, récurrence sur le caractère C^{2k+2} de φ_X.
- Partie IV — Partie IV — Développement en série entière de φ_X(Q38-Q39)Très difficile
Développement en série entière, formule de Taylor avec reste intégral, majorations d'intégrales.
Analyse globale du jury
« L'énoncé assez élémentaire laissait peu de place à l'initiative et certains candidats ont bien fait l'effort de justifier les propriétés utilisées. De trop nombreuses copies, en revanche, ne découpent pas suffisamment les raisonnements, donnant trop d'arguments tout en omettant parfois les arguments cruciaux. De telles productions, laissant au correcteur le soin de sélectionner les arguments réellement utiles, ont été logiquement sanctionnées. Si l'utilisation de la convergence normale et les méthodes d'interversion somme/intégrale sont plutôt bien assimilées, ce sont paradoxalement des outils bien plus basiques et même les techniques du secondaire qui sont parfois assez mal maitrisés. Les nombres complexes sont une grande source d'erreurs. Les techniques pour calculer les limites ou just… »
Top pièges sanctionnés
Théorème de transfert mal compris (Q1)-2 pts
« On note parfois une certaine incompréhension du théorème de transfert. Remarquons, ici, que P(X=x) et P(e^{itX} = e^{itx}) ne sont pas nécessairement égales. »
e^{itaX} = (e^{itX})^a — faux en complexe (Q4)-2 pts
« Des candidats écrivent e^{itaX} = (e^{itX})^a, ce qui n'a pas de sens puisque e^{itX} est un complexe. On voit également E(e^{itaX}) = (E(e^{itX}))^a. »
φ_X(-t) = φ_X(t)^{-1} — faux (Q5)-2 pts
« Une question abordée avec réticence et un fort taux d'échec. Les nombres complexes dans ce contexte sont mal manipulés. On a vu souvent l'erreur φ_X(-t) = φ_X(t)^{-1} avec la conséquence que φ_X ne peut être paire que si elle est à valeurs dans {-1, 1}. »
Loi géométrique — support flou (Q7)-1 pts
« Une certaine méconnaissance de la loi géométrique est à déplorer. Beaucoup considèrent la loi géométrique comme finie entre 1 et un mystérieux nombre n, d'autres lui attribuent une probabilité p à X = 0. Pour sommer une série géométrique, peu de candidats pensent à justifier que le module de la raison est strictement inférieur à 1. »
Quantificateurs renversés (Q13)-2 pts
« Beaucoup transforment « pour tout n si a_n ≠ 0 alors » en « si pour tout n a_n ≠ 0 alors ». »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2020 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
