Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.67
Médiane
9.2
Écart-type
3.52
Q1 (25%)
7.1
Q3 (75%)
11.9
Candidats présents
3 550
sur 3 769 inscrits · 5.8% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Matrices de Toeplitz. Trois grandes parties : (1) familiarisation avec cette classe de matrices, étude du cas n=2, propriétés des matrices tri-diagonales ; (2) matrices circulantes (autre cas particulier) — structure et diagonalisabilité ; (3) matrices cycliques reliées aux matrices de Toeplitz. Une matrice de Toeplitz de taille n est entièrement déterminée par 2n−1 coefficients. Bonne maîtrise de l'algèbre linéaire, nombres complexes, trigonométrie, polynômes.
Structure de l'épreuve
- Partie I — FamiliarisationNiveau attendu
Abordée presque entièrement par tous. Définition et propriétés d'une matrice diagonalisable ou d'une suite récurrente linéaire connues. En revanche, calculs trop souvent dans ℝ alors que matrices et scalaires complexes.
- Partie II — Matrices circulantesNiveau attendu
Bien plus courte. Très largement étudiée. Polynômes de matrices y occupent une place importante.
- Partie III — Matrices cycliquesDifficile
Près de la moitié du problème, nettement moins abordée et peu de questions correctement traitées. Plus grande abstraction ou technicité, position en seconde moitié. Le sujet est long, mais certains candidats ont traité presque les trois quarts.
Analyse globale du jury
« La première partie a été abordée presque entièrement par tous les candidats et certaines questions ont été très bien traitées. Une grande majorité des candidats connaît la définition et les propriétés élémentaires d'une matrice diagonalisable ou d'une suite récurrente linéaire, objets qui occupaient une place centrale dans cette première partie. En revanche, les calculs ont trop souvent été faits dans le corps des réels alors que les matrices et scalaires étaient des nombres complexes ! La deuxième partie, bien plus courte, a aussi été très largement étudiée. La troisième partie, qui représente pourtant près de la moitié du problème, a été nettement moins abordée. »
Top pièges sanctionnés
Calculs dans ℝ alors que matrices complexes-2 pts
« En revanche, les calculs ont trop souvent été fait dans le corps des réels alors que les matrices et scalaires étaient des nombres complexes ! »
Famille libre + génératrice = base-1 pts
« Pour démontrer qu'une famille est une base, il faut démontrer qu'elle est libre et génératrice. Dans la question 1, trop de candidats ne l'ont pas fait correctement. »
Matrice symétrique complexe non diagonalisable-2 pts
« Une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas nécessairement diagonalisable. C'est par contre toujours le cas pour une matrice symétrique à coefficients réels. »
« Diagonalisable » ≠ « polynôme caractéristique scindé à racines simples »-2 pts
« Il n'y a pas équivalence pour une matrice entre « être diagonalisable » et « avoir un polynôme caractéristique scindé et à racines simples ». »
Pas de relation d'ordre dans ℂ-2 pts
« Il n'y a pas de relation d'ordre dans ℂ ! Ainsi, lors de la résolution d'une équation de degré 2 dans ℂ, cela n'a aucun sens de traiter les cas Δ>0, Δ=0 et Δ<0. »
Polynôme annulateur — inclusion réciproque pas toujours valable-2 pts
« Si P est un polynôme annulateur d'une matrice A, seule l'inclusion sp(A) ⊂ {racines de P} est toujours valable, mais l'inclusion réciproque ne l'est pas forcément. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PSI, session 2018 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
