Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Caractérisation des endomorphismes S de X (espace vectoriel réel de dimension n ≥ 1) que l'on peut écrire comme somme finie de projecteurs. Quatre parties : (1) conditions nécessaires Tr(S) ∈ N et Tr(S) ≥ rg(S) ; (2) lemme technique ; (3) résultat essentiel — si S n'est pas une homothétie et si t1,...,tn ont pour somme Tr(S), il existe une base où S a t1,...,tn pour termes diagonaux ; (4) démonstration complète. Algèbre linéaire de base, calcul matriciel, calcul par blocs.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Conditions nécessaires (Q1-Q7)(Q1-Q7)Niveau attendu
Q1 cours : termes diag de AB, trace AB ≠ produit traces. Q2 deux matrices semblables ont même trace via Q1. Q3 P(x) = P(r)P(n) (faux). Q4 base adaptée au ker/im, invariance de trace. Q5 double inclusion, oubli de réciproque. Q6 Grassmann (pas inégalité triangulaire ou Cauchy-Schwarz !).…
- Partie II — Partie 2 — Lemme technique (Q8-Q12)(Q8-Q12)Difficile
Q8-Q10 calcul matriciel ou approche unifiée — préciser la base, P inversible/homothétie/vecteur propre faux. Q11 caractérisation des homothéties (folklore), erreur de logique sur la contraposition. Q12 lien avec Q11 manquant (matrice d'un endomorphisme).
- Partie III — Partie 3 — Récurrence sur la dimension (Q13-Q15)(Q13-Q15)Très difficile
Q13 récurrence sur n via calcul par blocs ; hypothèse rarement écrite, invariance de trace mal invoquée. Q14 base avec t1, t2 diagonaux — choix erronés. Q15 facile, énoncé presque dans la question.
- Partie IV — Partie 4 — Conclusion (Q16-Q18)(Q16-Q18)Très difficile
Q16 récurrence sur la dimension — initialisation absente, passage n→n+1 peu clair. Q17 base adaptée au noyau (pas X = ker ⊕ im). Q18 stricte positivité des ti, paraphrase de l'énoncé.
Analyse globale du jury
« Le sujet a atteint son but en permettant un bon étalonnement des notes. Les correcteurs ont cependant été surpris par le nombre relativement élevé de copies quasiment vides. Les candidats en question manifestent, soit par l'absence de réponse, soit par des réponses aberrantes, une ignorance des éléments de l'algèbre linéaire très surprenante après deux années de classes préparatoires, qui va parfois jusqu'à une complète confusion des objets. Sans demander de virtuosité calculatoire, le problème nécessitait d'être à l'aise avec le produit matriciel et les calculs par blocs. »
Top pièges sanctionnés
Q1 — termes diag de AB = Aii * Bii ; trace AB = trA * trB-2 pts
« Certains candidats affirment que les termes diagonaux de AB sont les Ai,i Bi,i. D'autres écrivent que la trace de AB est le produit des traces de A et B. »
Q2 — matrice d'un endomorphisme indépendante de la base (faux)-2 pts
« Relevons enfin l'assertion : la matrice d'un endomorphisme est indépendante de la base. »
Q6 — Cauchy-Schwarz pour Grassmann-2 pts
« On relève beaucoup de références inappropriées à F G, et des démonstrations fantaisistes (appel à l'inégalité triangulaire ou à celle de Cauchy-Schwarz). »
Q7 — additivité du rang, image d'une somme-2 pts
« Quelques erreurs assez fréquentes : additivité du rang, l'image d'une somme est la somme des images. »
Q11 — fausse contraposition (rend le résultat évident)-1 pts
« On note une erreur de logique récurrente : fausse contraposition, qui rend le résultat évident. »
Q13 — invariance de trace pour démontrer l'énoncé-2 pts
« Notons une faute de raisonnement curieuse, consistant à affirmer que l'énoncé est vrai à cause de l'invariance de la trace par similitude. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2014 · PDF officiel ↗
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Téléchargements
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