Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Étude d'un opérateur Λ « de moyenne » sur l'espace des fonctions continues de R dans R. Tests sur l'assimilation de pratiquement tout le programme d'analyse de PC : calcul intégral, équations différentielles, techniques de majoration, fonctions périodiques et séries de Fourier. Quelques questions au milieu testent les théorèmes d'analyse de 1ère année (théorème fondamental, fonctions bornées atteignant leurs bornes).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q4 — Théorème fondamental de l'analyse(Q1-Q4)Niveau attendu
Q1 différence définie/continue, théorème fondamental rarement évoqué précisément. Q2 endomorphisme — moitié linéarité (oubli scalaire), « f bornée ⇒ Λf bornée » (faux). Q3 ∫f φ = 0 ⇒ f = 0 (théorème fondamental, pas stricte positivité). Q4 dérivée de ∫f donnée comme f(x) - f(0) (faux).
- Partie II — Q5-Q9 — Programme d'analyse 1ère année(Q5-Q9)Difficile
Q5-Q6 attendus peu limpides, peu abordées. Q7-Q8 fonction croissante tend vers +∞ en +∞ (faux), grandes phrases au lieu de théorèmes précis. Q9 conditions nécessaires sur λ sans synthèse.
- Partie III — Q10-Q14 — Périodicité et simplifications(Q10-Q14)Difficile
Q11 simplifications de la périodicité non vues ; deuxième proposition fausse dans l'énoncé — bonus pour ceux qui ont rectifié. Q12 majoration de x - E(x) par α implicite. Q13 majoration sur [0, β[ délicate (et inutile pour la suite).
- Partie IV — Q15-Q19 — Convergence et complétude(Q15-Q19)Très difficile
Q15 R non vide minoré ⇒ minimum (faux), caractère discret. Q16 copier-coller du raisonnement faux Q15. Q17 théorème de convergence normale reconnu mais rédaction floue. Q18-Q19 techniques, très peu abordées.
Analyse globale du jury
« Quelques questions situées vers le milieu du problème, testant la bonne connaissance des théorèmes d'analyse enseignés en début de première année, ont révélé un manque de connaissance du cours et une fâcheuse tendance au verbiage dans de trop nombreuses copies. Les questions 7 et 8 ont révélé une dérive vers le verbiage approximatif qui est aux antipodes d'un discours scientifique. Il est important, pour réussir une épreuve de mathématiques, de comprendre que le fait de citer à bon escient un énoncé de théorème du programme emportera beaucoup plus l'adhésion du correcteur que les grands discours qui tournent souvent à vide. »
Top pièges sanctionnés
Q1 — théorème fondamental « par continuité de l'intégrale »-2 pts
« Le « théorème fondamental de l'analyse » faisant le lien entre intégrales et primitives d'une fonction continue est le point central de cette question, mais il est rarement évoqué de façon précise. (...) Certaines justifications du style « par continuité de l'intégrale » laissent un peu rêveur. »
Q2 — f bornée ⇒ Λf bornée (sans vérification)-1 pts
« Beaucoup de candidats se permettent de dire, avec un aplomb parfois surprenant, que « si f est bornée, rien ne permet d'affirmer que Λf le soit aussi » ! »
Q4 — dérivée de ∫₀ˣ f(t) dt = f(x) - f(0)-2 pts
« Certains proposent comme dérivée de x ↦ ∫₀ˣ f(t) dt l'expression f(x) − f(0). Toujours ce « théorème fondamental » décidément fort malmené ! »
Q7-Q8 — fonction croissante tend vers +∞-2 pts
« Beaucoup pensent qu'une fonction croissante tend nécessairement vers +∞ en +∞. »
Q15 — partie minorée de R admet un minimum-2 pts
« De nombreux candidats semblent persuadés qu'une partie de R, non vide et minorée, admet toujours un minimum et ne savent pas exploiter le caractère « discret » de l'ensemble ici considéré. »
Verbiage au lieu de citation de théorème précis-2 pts
« Au lieu de citer des théorèmes précis, par exemple pour conclure qu'une fonction est bornée et atteint ses bornes, de nombreux candidats se lancent dans des grandes phrases (« la fonction ne peut pas diverger », « elle ne peut pas prendre des valeurs infinies, donc on voit bien que... »). »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2014 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
