Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration de l'inégalité de Le Cam (1960) : pour Xi ~ Bernoulli(pi) indépendantes, la distance en variation totale entre la loi de S = ΣXi et P(λ) (λ = Σpi) est majorée par 2 Σ pi². La preuve repose sur la méthode de Stein-Chen via l'estimation de la constante de Lipschitz des solutions de l'équation fonctionnelle f(n+1) - n f(n) = h(n) - e^{-λ} Σ h(k) λ^k/k!. Sujet long mais progressif.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — Distance en variation totale et convergence absolue(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 traitée par la majorité, quelques réponses fantaisistes dépendant de n. Q2 définition de d et évaluation — réponse fréquente 0 (faux). Q3-Q4 convergence absolue via |f| borné — majorations sans valeur absolue, série dont le terme général tend vers 0 (faux), d'Alembert avec ratio borné (faux).…
- Partie II — Q6-Q10 — Caractérisation de Poisson via Sh(Q6-Q10)Difficile
Q6 tester sur les indicatrices de singletons — arguments faux (identification de coefficients, f(n)=1/n et somme nulle implique tous nuls). Q7 caractère infini de Sh via f(0) arbitraire — invocations vagues de dimension ou Cauchy-Lipschitz inappropriées.
- Partie III — Q11-Q20 — Estimation de la constante de Lipschitz(Q11-Q20)Très difficile
Cœur de la preuve analytique. Estimations rigoureuses requises.
Analyse globale du jury
« Le sujet a atteint son but en permettant un bon étalonnement des notes. Les correcteurs ont cependant été surpris par le nombre relativement élevé de copies très faibles. Les candidats en question manifestent, soit par l'absence de réponse, soit par des réponses aberrantes, une ignorance des éléments de l'analyse et un manque de rigueur intellectuelle très surprenants après deux années de classes préparatoires. Ce sujet valorise le travail en profondeur du cours et de la technique de calcul. C'est seulement par une pratique importante de gammes très simples que l'on s'approprie les gestes de base de l'analyse. »
Top pièges sanctionnés
Q3-Q4 — série dont le terme général tend vers 0 converge-2 pts
« Beaucoup d'erreurs sur ces questions simples. Il suffisait d'établir la convergence absolue en utilisant le caractère borné de f. De nombreux candidats se contentent d'arguments qui ne prouvent rien : majoration (sans valeur absolue) du terme général, ou majoration de la valeur absolue de la somme partielle (qui n'est pas la somme partielle des valeurs absolues). D'autres erreurs ont été commises (« une série dont le terme général tend vers 0 converge », application de la règle de d'Alembert en prétendant que (f(n+1)/f(n)) est bornée…). »
Q2 — distance d retournant 0 (sens intuitif)-1 pts
« À noter la réponse fréquente 0, qui atteste un certain manque de bon sens vu le sens intuitif du mot distance. »
Q6 — somme nulle ⇒ tous les termes nuls (sans hypothèse)-2 pts
« Les correcteurs ont lu beaucoup d'arguments faux (identification de coefficients de séries entières mal définies, choix f(n) = 1/n suivi de l'argument selon lequel une série convergente de somme nulle a tous ses termes nuls...). »
Q7 — caractère infini de Sh mal compris-2 pts
« Le caractère infini de Sh, qui résulte simplement du fait que f(0) peut être choisi arbitrairement, est très mal compris. Beaucoup de candidats ne voient pas que h est fixée, d'autres invoquent des arguments vagues de dimension, voire un théorème de type Cauchy linéaire pour les équations différentielles. »
Calculs dépourvus de signification (rôle des objets mal compris)-2 pts
« On relève cette année une tendance accrue à faire des calculs dépourvus de signification, tant le rôle des objets est mal compris. Conseillons donc aux candidats de prendre le temps de comprendre le sens des questions ! »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2015 · PDF officiel ↗
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