Top piège du sujet
Q1, DSE et DL confondus, (2k)! = 2^k k!
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en deux thématiques : (parties A, B, C) analytique pour établir deux théorèmes taubériens ; (partie D) probabiliste sur la marche de Bernoulli symétrique sur Z. Suite (Xk) i.i.d. de variables de Rademacher avec Sn = Σ Xi. T = instant de premier retour à l'origine. But : montrer que T est presque sûrement finie et trouver un équivalent de P(T > n) quand n→∞ via la fonction génératrice et les théorèmes taubériens.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A, Développements et intégrabilité (Q1-Q7)(Q1-Q7)Niveau attendu
Q1 cours : développement de (1-x)^α pour α=-1/2, confusion DSE et DL, erreur (2k)! = 2^k k!. Q2 déstabilisante, tentatives de bluff. Q3 changement de variable peu vu. Q4 linéarité (pas tout polynôme = monôme). Q5 calcul donnant 0 ou négatifs. Q6 variable muette vs parlante…
- Partie II — Partie B, Théorèmes taubériens (Q8-Q11)(Q8-Q11)Difficile
Q8 coquille dans la définition de Sn, notation indulgente. Q9 encadrements et parties entières (n α = n α (faux)). Q10 manient sans rigueur les équivalents et limites. Q11 mise en forme (faire tendre α et β vers 1) avec théorème des gendarmes insuffisant.
- Partie III — Partie C, Égalité en loi et probabilités (Q12-Q18)(Q12-Q18)Très difficile
Q12 « loi sans mémoire » incantations confuses. Q13 égalité en loi des vecteurs (Sk+1 - Sk, ..., Sn - Sk) et (S1, ..., Sn-k) via fonction déterministe. Q14 supposée indépendance des Sk (incompréhension). Q15 caractère complet du système d'événements. Q16 produit de Cauchy…
- Partie IV — Partie D, Synthèse (Q19-Q22)(Q19-Q22)Très difficile
Q19 vérification des hypothèses des résultats des premières parties. Q20-Q22 succès mitigé faute de temps.
Analyse globale du jury
« Le sujet permettait d'effectuer un tour assez large dans les programmes d'analyse (suites et séries numériques, séries entières, intégration) et de probabilités. Il était de longueur raisonnable, a été entièrement traité dans les meilleures copies et a permis un bon étalonnement des notes. Les correcteurs ont été surpris par le grand nombre de copies très faibles. Plusieurs questions vraiment simples (1, 3, 5, 8, 9, 12) ont donné lieu à des résultats décevants. Manque de soin et de rigueur dans la quasi-totalité des questions probabilistes. Le calcul des probabilités est nouveau venu dans les CPGE scientifiques. »
Top pièges sanctionnés
Q1, DSE et DL confondus, (2k)! = 2^k k!-2 pts
« Certaines copies confondent développement en série entière et développement limité, alors que d'autres perdent du temps à retrouver le développement via la méthode de l'équation différentielle. Quelques erreurs grossières (du type (2k)! = 2^k k!). »
Q4, tout polynôme est un monôme-2 pts
« Il suffit d'invoquer la linéarité de l'intégrale et de la somme. Beaucoup de copies présentent des justifications fausses, certaines fondées sur le fait que tout polynôme est un monôme. »
Q5, intégrale d'une fonction positive < 0-2 pts
« On relève assez fréquemment des résultats manifestement absurdes (valeur négative d'une intégrale de fonction positive, résultat d'une intégration dépendant de la variable d'intégration, probabilités supérieures à 1). »
Q12, « loi sans mémoire » et P(intersection) = somme-2 pts
« Question assez bien traitée dans l'ensemble. On note cependant beaucoup d'incantations confuses, voire dépourvues de sens (« loi sans mémoire ») et quelques réponses délirantes (la probabilité d'une intersection est la somme des probabilités). »
Q14, supposée indépendance des Sk-2 pts
« Beaucoup d'arguments très faux, fondés par exemple sur la supposée indépendance des Sk ! Cette faute révèle une incompréhension profonde de la notion d'indépendance. »
Q11, théorème des gendarmes seul-1 pts
« L'idée essentielle (faire tendre α et β vers 1) est souvent comprise. La mise en forme demande du soin et est rarement complètement satisfaisante. Une référence au théorème des gendarmes est ici tout à fait insuffisante. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Contexte
L'épreuve Maths I 2016
L'épreuve Maths I Mines-Ponts PC 2016 s'est déroulée fin avril 2016, durée 3h, coefficient 4. Concours commun Mines-Ponts qui ouvre 10 écoles d'ingénieur (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Sujet : Théorèmes taubériens et marche de Bernoulli symétrique sur Z. Sujet en deux thématiques : (parties A, B, C) analytique pour établir deux théorèmes taubériens ; (partie D) probabiliste sur la marche de Bernoulli symétrique sur Z. Suite (Xk) i.i.d. de variables de Rademacher avec Sn = Σ Xi. T = instant de premier retour à l'origine…
Notre analyse ci-dessous est tirée des commentaires détaillés du jury Mines-Ponts sur les copies 2016.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le sujet permettait d'effectuer un tour assez large dans les programmes d'analyse (suites et séries numériques, séries entières, intégration) et de probabilités. Il était de longueur raisonnable, a été entièrement traité dans les meilleures copies et a permis un bon étalonnement des notes…
Si tu vises 9-12/20
Sécuriser les questions de cours et premières applications directes. Mines-Ponts sanctionne lourdement les théorèmes appliqués sans vérification d'hypothèses : prends 30 secondes par théorème pour rappeler les hypothèses avant application.
Si tu vises 14+/20
Aller jusqu'aux dernières parties avec rédaction propre et calculs vérifiés. La présentation est notée, Mines-Ponts inclut un malus barème explicite depuis plusieurs sessions pour les copies négligées.
Gestion des 3h : prioriser les Q1-Q5 (questions de cours et applications directes), puis avancer au plus loin du sujet. Mieux vaut 12 questions traitées proprement que 22 traitées à moitié avec ratures et calculs faux.
Conseils du jury
Top pièges à éviter
- Q1, DSE et DL confondus, (2k)! = 2^k k!
- Q4, tout polynôme est un monôme
- Q5, intégrale d'une fonction positive < 0
- Q12, « loi sans mémoire » et P(intersection) = somme
- Q14, supposée indépendance des Sk
Ressources
Téléchargements
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