Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Épreuve de trois heures d'algèbre portant sur les projecteurs, les projecteurs orthogonaux avec les propriétés de positivité et de symétrie. L'erreur de compréhension principale a été de confondre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal (le seul endomorphisme vérifiant ces deux propriétés étant l'identité).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q9 — Projecteurs et projecteurs orthogonaux (cours)(Q1-Q9)Niveau attendu
Questions très proches du contenu du programme. Q1 mieux réussie. Q2 trace de produit de matrices. Q3 supplémentarité noyau-image. Q4 écriture matricielle dans une base bien choisie. Q5 formule de Grassmann. Q6 trace de S entière. Q7-Q9 caractérisations par implication-réciproque, avec confusion…
- Partie II — Q10-Q15 — Diagonalisation orthogonale et structure euclidienne(Q10-Q15)Difficile
Q10 forme matricielle dans une base B. Q11 projecteurs Q_i orthogonaux. Q12 existence d'une valeur propre > 1, calcul de trace par linéarité — assez peu réussi. Q13 itération sur T-Q_i. Q14 lien rang(S) et rang sur Y. Q15 vérification des propriétés du produit scalaire.
- Partie III — Q16-Q21 — Synthèse, valeurs propres et somme de projecteurs(Q16-Q21)Très difficile
Q16 peu traitée, permet de se détacher du lot ; valeurs propres >1 et <1. Q17 question classique, implication via Q8 ou base orthonormée. Q18 différence d'endomorphismes positifs non nécessairement positive. Q19 égalité d'espaces vectoriels = deux inclusions + somme directe. Q20 suite Si de rangs…
Analyse globale du jury
« L'épreuve de trois heures d'algèbre portait sur les projecteurs, les projecteurs orthogonaux avec les propriétés de positivité et de symétrie. Les questions 1 à 9 étaient très proches du contenu du programme et ont permis d'avoir une bonne progressivité des notes. Le sujet recelait de questions plus ardues, en particulier les questions 16 et 18, et cet échelonnement dans la difficulté des questions a permis de bien départager les différents niveaux des candidats. Comme assez souvent, les dernières questions étaient une simple lecture de sujet et permettaient aux candidats ayant une vision d'ensemble de récupérer quelques points. »
Top pièges sanctionnés
Erreur de compréhension principale : confondre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal-3 pts
« L'erreur de compréhension principale pour ce sujet a été de confondre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal (le seul endomorphisme vérifiant ces deux propriétés étant bien sûr l'identité). »
Q2 : invoquer le cours pour la trace de matrices semblables alors que c'est l'objet de la question-1 pts
« Il faut éviter de répondre « d'après le cours, les matrices semblables ont même trace », alors que c'est justement l'objet de la question. »
Q7 (implication) : oublier que le vecteur considéré est non nul-1 pts
« L'erreur principale a été de ne pas mettre en avant le fait que le vecteur considéré était non nul. L'inégalité ab >= 0 avec a >= 0 ne permet pas de conclure que b >= 0. »
Q7 (réciproque) : se contenter de la diagonalisabilité au lieu de l'orthodiagonalisation-2 pts
« Beaucoup de candidats se sont contentés d'indiquer que T était diagonalisable, alors qu'il était nécessaire d'avoir des vecteurs propres orthogonaux. De plus, de trop nombreuses copies ont supposé de manière erronée que tous les vecteurs étaient des vecteurs propres. »
Démonstration d'équivalence : raisonnement par équivalence faux dans un sens-1 pts
« Pour démontrer une équivalence (en particulier les questions 7, 8, et 9), les candidats seraient en général bien inspirés de séparer nettement l'implication et la réciproque (dans la majorité des cas, les raisonnements par équivalence étaient faux dans un sens). »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2014 · PDF officiel ↗
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