Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Problème exigeant une solide maîtrise des techniques portant sur les séries de fonctions et les intégrales ainsi qu'une bonne connaissance du cours sur les séries de Fourier. Il fallait, à plusieurs reprises, justifier avec soin l'interversion d'une série et d'une intégrale, et bien comprendre la structure logique de l'énoncé. Les questions 3 et 4 étaient essentielles et intervenaient directement pour la résolution des questions 6, 7, 9, 10, 13, 14, 18 et 20. Moyenne de 8/20 malgré un barème…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Séries de Fourier et opérateur différentiel(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1-Q2 majoration du module de coefficients de Fourier complexes ; question de cours et inégalité avec constante Ck. Q3-Q4 séries de fonctions trigonométriques, convergences et dérivation terme à terme à un ordre quelconque. Q5 caractère linéaire des coefficients de Fourier et théorèmes de…
- Partie II — Partie 2 — Opérateur différentiel et équation différentielle(Q6-Q10)Difficile
Q6 série identifiée comme cas particulier de Q4 (convergence normale, caractère C∞). Q7-Q8 distinguer hypothèses (f continue vs C∞) ; convergence uniforme sur [a,+∞[ avec a>0. Q9 interversion série-intégrale via Q3 et Q7. Q10 existence et unicité d'une solution — invocation de Cauchy-Lipschitz…
- Partie III — Partie 3 — Représentation intégrale(Q11-Q14)Très difficile
Q11 expression de la solution Q10 + interversion série-intégrale via théorème d'intégration terme à terme. Q12 mêmes techniques que Q10. Q13 justifier c_n(A^1(f)) = |n| c_n(f). Q14 nécessairement P(n) = |n| ; sommes doubles avec indices différents.
- Partie IV — Parties 4-5 — Conditions initiales et fonction énergie(Q15-Q20)Très difficile
Q15 justifier le titre. Q16 transformées de Fourier et théorème d'intégration terme à terme. Q17 suite de polynômes trigonométriques. Q18 théorème d'intégration terme à terme. Q19 changement de variable x=tu, caractérisation séquentielle de la limite, TCD. Q20 formule de Parseval pour…
Analyse globale du jury
« Les prestations des candidats sont globalement très décevantes. L'énoncé est souvent lu avec une attention insuffisante. Le cours est très souvent mal su, en particulier les définitions et les grands théorèmes classiques. Les notes obtenues sont étalées de 0 à 20 ; malgré un barème généreux, la moyenne obtenue par les candidats est de 8 sur 20. Le jury constate néanmoins la satisfaction de corriger un certain nombre de bonnes copies. Recommandation forte : lire le sujet en entier avant de commencer la résolution, bien connaître son cours, réfléchir complètement sur une question avant de commencer la rédaction. »
Top pièges sanctionnés
Q1 : encadrer un coefficient de Fourier complexe au lieu de majorer son module-1 pts
« Trop de candidats encadrent c_n(f) alors qu'il est complexe. Pour montrer qu'une suite complexe est bornée, il suffit de majorer le module du terme général, indépendamment de l'entier n. »
Q3 : invoquer un mystérieux « théorème d'interversion somme intégrale » sans hypothèse-2 pts
« Beaucoup de candidats invoquent souvent un mystérieux « théorème d'interversion somme intégrale », en se souvenant seulement vaguement de la conclusion, si bien que ce fameux théorème n'a même plus d'hypothèse. »
Q7 : ne pas voir que f est seulement continue (pas C∞) — utilisation abusive de l'inégalité (2)-2 pts
« Les deux tiers des candidats ne lisent pas l'énoncé avec suffisamment d'attention et ne voient pas que f est seulement continue, et non de classe C∞, ce qui ne permet pas d'utiliser l'inégalité (2). »
Q8 : confusion sur la convergence normale (variable t laissée dans la majoration)-2 pts
« La plupart des candidats font une confusion sur la convergence normale, en établissant une majoration où la variable t est encore présente, ou en faisant une majoration sans la variable t et en affirmant à tort la convergence normale sur R. »
Q10 : invoquer Cauchy-Lipschitz pour l'existence-unicité — hors-sujet-2 pts
« Un certain nombre de candidats invoque l'existence et l'unicité d'une solution à l'aide d'un théorème de Cauchy-Lipschitz, ce qui est complètement hors sujet. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2014 · PDF officiel ↗
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