Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet comportant beaucoup de questions simples et quelques questions délicates. Il est alors impératif de faire extrêmement attention à la rédaction : entre une moyenne et une bonne copie, la différence se joue parfois à ce qui peut apparaître comme des détails (voir notamment les questions 4, 11 et 14). Le sujet a bien joué son rôle de tri car l'écart-type est conséquent. Les questions 6 à 10 ont été déterminantes dans le tri.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — Matrice de Markov, vecteur propre, indépendance(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 généralement bien traitée, attention aux sens de passage (1/4 vs 1/3). Q2 transposée — confondre B et tB pénalise pour Q3-Q4. Q3 somme des coefficients sur chaque colonne = 1 donc U vecteur propre (pas besoin de calculer espaces propres). Q4 récurrence : initialisation X_0 = B X_0 cruciale. Q5…
- Partie II — Q6-Q10 — Algèbre déterminante(Q6-Q10)Difficile
Questions déterminantes dans le tri. Compétences en algèbre demandées : connaissance du cours et rigueur. Apparition de puissances de vecteurs ou sommes géométriques de vecteurs très négatif sur la note finale.
- Partie III — Q11-Q14 — Caractérisation et précision(Q11-Q14)Difficile
Q11 raisonnement par équivalence non ambigu (rédaction : « donc AU=U équivaut à A stochastique » insuffisante). Q12 vérifier la positivité des coefficients d'un produit de matrices stochastiques. Q13 caractérisation séquentielle pour la fermeture, exploiter Q11. Q14 précision dans la rédaction :…
- Partie IV — Q15-Q19+ — Synthèse et erreurs communes(Q15-Q19+)Très difficile
Q15 idée souvent là (suggérée) mais rédaction imprécise pénalisante. Q16 double inclusion classique — Q15 inapplicable pour p=1. Q17 utiliser Q13 pour conclure (peu de candidats l'ont vu). Q19 erreur commune : UL stochastique de rang 1 comme P, donc P=UL.
Analyse globale du jury
« Ce sujet comportait beaucoup de questions simples et quelques questions délicates. Il est alors impératif de faire extrêmement attention à la rédaction : entre une moyenne et une bonne copie, la différence se joue parfois à ce qui peut apparaître comme des détails qui révèlent la compréhension ou entretiennent le doute (voir notamment les questions 4, 11 et 14). Les copies sont majoritairement bien présentées. Plus que tout, il vaut mieux ne rien écrire que d'asséner des assertions fumeuses auxquelles on sent que même le candidat ne croît pas. Le sujet a bien joué son rôle de tri, car l'écart-type est conséquent, preuve d'un bon étalement des notes. Un correcteur ne met a priori pas de points négatifs, mais admettons que l'apparition de puissances de vecteurs, voire de sommes… »
Top pièges sanctionnés
Q2 : écrire B au lieu de sa transposée et persister-2 pts
« Les candidats qui ont écrit B au lieu de sa transposée se sont pénalisés pour la suite puisqu'ils ne pouvaient répondre correctement aux questions 3 et 4, même s'ils ont voulu le faire croire au correcteur. »
Q3 : calculer les espaces propres au lieu de constater somme des colonnes = 1-1 pts
« Beaucoup de temps perdu à calculer des espaces propres, alors qu'il suffisait de remarquer que la somme des coefficients sur chacune des colonnes valait 1 donc, que U était vecteur propre. »
Q5 : prouver l'indépendance par un discours « la position au rang 1 dépend de celle au rang 0 »-2 pts
« De la même manière qu'un discours littéraire est interdit en algèbre ou en analyse, il faut en probabilités se garder des arguments pompeux tels que « la position au rang 1 dépend de celle au rang 0 donc les variables aléatoires ne sont pas indépendantes ». »
Q11 : raisonnement par équivalence ambigu-2 pts
« Encore fallait-il faire un raisonnement par équivalence correct, en tout cas non ambigu. Le correcteur doit décider si le candidat a perçu le besoin de l'équivalence. Et le doute profite rarement au candidat ! »
Q14 : rédaction imprécise omettant valeur absolue, norme infinie ou positivité-2 pts
« Cette rédaction permet de voir que le candidat a pensé aux valeurs absolues du début, a bien utilisé l'inégalité triangulaire, a bien majoré les x_j par la norme infinie de x, a bien utilisé la positivité des a_ij et enfin le fait que leur somme fasse 1. Tout ce qui ne permettait pas de déterminer que le candidat avait pensé à tous ces éléments, entraînait perte partielle ou totale de points. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2017 · PDF officiel ↗
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