Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet d'un niveau et d'une longueur conformes aux standards du concours, mobilisant les connaissances d'algèbre linéaire de 1ère et 2ème année (réduction, polynômes d'endomorphismes). Large majorité de questions de difficulté faible à moyenne. Q14, 15, 18, 20, 21, 22 délicates ont permis aux meilleurs de s'exprimer. La majorité des candidats a traité Q4-Q12. Trop de copies mal rédigées, mal présentées et mal orthographiées — sanctions systématiques pour copies truffées de symboles ⇒ et ⇔…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A — Sommes d'endomorphismes de carré nul (Q1-Q6)(Q1-Q6)Niveau attendu
Q1 trace invariante par similitude — explication attendue, identité tr(u∘v)=tr(v∘u) acceptable, mais pas tr(u∘v∘w)=tr(v∘u∘w) (fausse). Q2 utiliser χ_u=X²−tr(u)X+det(u) ; un endomorphisme d'un plan vectoriel n'a pas nécessairement deux valeurs propres distinctes, polynôme annulateur de degré 2 ≠…
- Partie II — Partie B — Référence à Q5-Q6 et application (Q7-Q10)(Q7-Q10)Niveau attendu
Q7 référence aux Q5-Q6 et rédaction impeccable du retour aux endomorphismes ; cas où l'un des espaces est nul rarement bien traité. Q8 question classique souvent bien traitée. Q9 plusieurs façons (raisonnement même sans dimension finie). Q10 attention (a+b)(F) ≠ a(F)+b(F) en général.
- Partie III — Partie C — Récurrence sur le noyau (Q11-Q13)(Q11-Q13)Difficile
Q11 passage v^k(x)=0 → v^(k+1)(x)=0 à justifier ; confusion (f-λid)² avec f²-λ²id. Q12 suite des dim Ker(v^k) stationnaire — résultat hors-programme officiel à justifier. Q13 théorème du rang ne suffit pas pour E = Ker v^p ⊕ Im v^p ; recours à commutation pour stabilités.
- Partie IV — Partie D — Sous-espaces caractéristiques (Q14-Q22)(Q14-Q22)Très difficile
Q14 utiliser un polynôme annulateur de f|E^c_λ(f) — idée venue à 20/5000 candidats. Q15 question difficile très peu réussie. Q16 a et b ne commutent pas, développer u² en a²+ab+ba+b². Q17 stabilisation par commutation — peu de candidats. Q18 u_F nilpotent, u_G automorphisme. Q20-Q22…
Analyse globale du jury
« Le sujet, d'un niveau et d'une longueur conformes aux standards du concours, mobilisait les connaissances du programme d'algèbre linéaire de première et seconde année en filière PSI, y compris la réduction des endomorphismes et les polynômes d'endomorphismes. Le jury a pu constater, pour une moitié des copies corrigées, une maîtrise à peu près convenable des outils d'algèbre linéaire de première année. En revanche, les outils de seconde année ne semblent souvent pas faire partie de l'arsenal des candidats. Le théorème de Cayley-Hamilton est trop peu souvent utilisé pour résoudre efficacement la question 2 ; la stabilisation d'un noyau ou d'une image par commutation n'est un réflexe que chez une infime fraction des candidats ; enfin, l'utilisation d'un polynôme annulateur pour discuter… »
Top pièges sanctionnés
Q1 : invoquer sans explication que deux endomorphismes semblables ont la même trace-2 pts
« La notion d'endomorphismes semblables est normalement inconnue des étudiants, et il est hors de question d'admettre quelque résultat que ce soit sur elle, plus particulièrement dès la première question du sujet. »
Q1 : utiliser tr(u∘v∘w)=tr(v∘u∘w) (fausse)-2 pts
« Les candidats pouvaient utiliser l'identité ∀(u,v)∈L(E)², tr(u∘v)=tr(v∘u) mais pas ∀(u,v,w)∈L(E)³, tr(u∘v∘w)=tr(v∘u∘w) puisque cette dernière est fausse ! »
Q3 : proposer E_δ(u) et E_-δ(u) comme sous-espaces échangés-2 pts
« Beaucoup de candidats signalent leur incompréhension de la notion de droite propre en proposant comme sous-espaces échangés E_δ(u) et E_-δ(u). »
Confondre endomorphismes et matrices carrées (sans base canonique)-2 pts
« Trop de candidats confondent ouvertement endomorphismes et matrices carrées, ce qui était d'autant plus problématique ici que l'on raisonnait sur des espaces vectoriels abstraits dénués de toute base canonique. À ce titre, les candidats doivent faire preuve de davantage de précision dans leur rédaction : parler de la matrice associée à un endomorphisme, sans indiquer de base, n'est pas acceptable. »
Confondre sous-espace caractéristique E^c_λ(f) et sous-espace propre E_λ(f)-2 pts
« Beaucoup de candidats ont, en fin de partie D, confondu le sous-espace caractéristique E^c_λ(f) avec le sous-espace propre E_λ(f). »
Q11 : confondre (f-λid)² avec f²-λ²id-2 pts
« Plusieurs candidats confondent (f-λid)² et f²-λ²id. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2017 · PDF officiel ↗
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