Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Problème divisé en 6 parties et 27 questions. Les 4 premières parties (20 questions) testent les candidats sur de nombreux points du programme. Les 2 dernières plus techniques sont abordées par une minorité. Le classement s'est fait sur les questions élémentaires des 4 premières parties ; les 2 dernières départagent les meilleurs. Pour bien réussir, il est impératif de traiter de façon claire et précise les questions élémentaires du début. La partie D demandait une certaine capacité…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A — Coefficients binomiaux et Stirling (Q1-Q4)(Q1-Q4)Niveau attendu
A.1 montrer C(n,k+1)/C(n,k) ≥ 1 si k ≤ [n/2]−1 + symétrie C(n,k)=C(n,n−k) — beaucoup oublient la 2e partie. A.2 application de Stirling : cas n pair/impair impérativement séparés. A.3 récurrence vs majoration directe (numérateur/dénominateur). A.4 inutile de montrer Vect(Ω_{1,n}) ⊂ R^n.
- Partie II — Partie B — Probabilités élémentaires (Q5-Q7)(Q5-Q7)Abordable
B.5-B.7 généralement bien traitées : calculer probabilités que det(M^(2)) = 0, 2, −2.
- Partie III — Partie C — Algèbre linéaire élémentaire (Q8-Q13)(Q8-Q13)Difficile
C.8 généralement bien traitée. C.9 partie liée majoritairement non comprise. C.10 rédaction confuse même avec indications. C.11 méthode du pivot non comprise (programme de math sup à assimiler). C.12 très peu abordée, souvent erronée. C.13 pratiquement pas traitée.
- Partie IV — Partie D — Anti-chaîne et Erdős-Littlewood-Offord (Q14-Q20)(Q14-Q20)Très difficile
D.14 minorité prouve qu'A_k est anti-chaîne ; lacunes en logique : A,B distincts ssi ∃a∈A,a∉B ET b∈B,b∉A (faux), confusion distincts/disjoints. D.15 question ouverte, marqueur de compréhension. D.16 « c'est impossible » sans absurde insuffisant ; A≠B remplacé par |A|≠|B|. D.17 dépend de D.15.…
- Partie V — Parties E-F — Synthèse finale (Q21-Q27)(Q21-Q27)Très difficile
E.21 quantificateurs en théorie des ensembles, malheureuse coquille (ω_{1,m} et non ω_{1,jm}) sans conséquences. E.22-E.23 abordées avec succès par quelques copies. Reste anecdotique.
Analyse globale du jury
« Ce problème traitait d'une question mathématique vivante (la vitesse de convergence vers 0 de det(M^(2)) est un problème ouvert, sujet de recherche actif). Conçu de sorte que les 20 premières questions permettent, de façon progressive, de tester les candidats sur des points fondamentaux du programme des CPGE, nous pensons que cet objectif a été atteint : néanmoins il nous a semblé que de nombreux candidats ont été déroutés par le sujet qui, il est vrai, sort un peu des sentiers battus. Conseils : (1) notions de base (1ère année) parfaitement assimilées ; (2) soigner la rédaction des questions du début ; (3) les « passages en force » disparaissent mais cela s'accompagne d'un manque de combativité — abandonner trop vite, hésiter à admettre une question pour rebondir ; (4) chercher à «… »
Top pièges sanctionnés
A.1 : oublier la deuxième partie (symétrie C(n,k)=C(n,n−k))-1 pts
« De nombreuses copies oublient la deuxième partie. D'autres considèrent C(n,k+1) − C(n,k) au lieu du quotient, ce qui est évidemment possible, à condition de ne pas se tromper dans les calculs qui sont plus lourds. »
A.3 : utiliser A.2 pour conclure (erroné)-2 pts
« La plupart des candidats font une récurrence, plus ou moins claire... Beaucoup utilisent A.2, ce qui est évidemment erroné. »
C.11 : méthode du pivot non maîtrisée (programme de 1ère année)-2 pts
« Assez peu abordée, cette question montre à quel point la méthode du pivot n'est pas comprise. C'est l'occasion d'insister sur le fait que les problèmes de concours portent aussi sur le programme de math sup qu'il importe d'avoir bien assimilé. »
D.14 : confondre « distincts » et « disjoints », ou A≠B avec |A|≠|B|-3 pts
« À la grande surprise des correcteurs, seule une minorité de candidats réussit à prouver que A_k est une anti-chaîne et leurs tentatives révèlent de grandes lacunes en logique : il est par exemple fréquemment affirmé que deux ensembles A, B sont distincts si et seulement s'il existe a ∈ A, a∉B et b ∈ B, b ∉ A. De nombreuses copies confondent « distincts » et « disjoints ». De nombreuses copies remplacent également A ≠ B par |A|≠|B|. »
D.16 : se contenter d'affirmer « c'est impossible » sans raisonnement par l'absurde-1 pts
« On peut regretter que certains candidats se contentent d'affirmer « c'est impossible » au lieu d'élaborer un raisonnement par l'absurde. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2018 · PDF officiel ↗
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