Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet centré sur la convexité dans le cadre des matrices symétriques. Cinq parties : (1) résultats classiques proches du cours (positivité ⟺ spectre positif, convexité de Sn++, racine carrée, Jensen), (2) inégalité classique trace/déterminant, (3) log-concavité du déterminant (la plus difficile), (4) majoration ln det(A + tIn) à l'aide de tr(A) (courte et facile), (5) DL de det(A + tM) et de (A + tM)⁻¹, comportement asymptotique. L'échelonnement des notes est très satisfaisant.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Résultats classiques (théorème spectral, racine carrée, Jensen)(Q1-Q?)Niveau attendu
Équivalence positivité matrice / positivité du spectre ; convexité de Sn++(R) ; existence d'une racine carrée pour Sn++(R) ; inégalité de convexité (Jensen). Très proches du cours.
- Partie II — Partie 2 — Inégalité trace-déterminant(Q?-Q?)Niveau attendu
Démonstration et amélioration d'une inégalité classique portant sur la trace et le déterminant. Assez élémentaire.
- Partie III — Partie 3 — Log-concavité du déterminant sur Sn+(R)(Q?-Q?)Difficile
Nettement plus difficile. Démontre la log-concavité du déterminant sur Sn+(R).
- Partie IV — Partie 4 — Majoration ln det(A + tI) via tr(A)(Q?-Q?)Niveau attendu
Courte et facile. On y majore le logarithme du déterminant de A + tIn à l'aide de la trace de A.
- Partie V — Partie 5 — DL de det(A + tM) et de (A + tM)⁻¹(Q?-Q?)Difficile
Établit les développements limités de t → det(A + tM) et de t → (A + tM)⁻¹ pour obtenir un comportement asymptotique de (det(I + tM))^(−α) pour α > −1/n fixé. Fonctions vectorielles.
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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FAQ
