Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
10.93
Médiane
10.9
Écart-type
4.29
Q1 (25%)
8.0
Q3 (75%)
13.8
Candidats présents
3 592
sur 3 731 inscrits · 3.7% d'absents
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet centré sur la convexité dans le cadre des matrices symétriques. Cinq parties : (1) résultats classiques proches du cours (positivité ⟺ spectre positif, convexité de Sn++, racine carrée, Jensen), (2) inégalité classique trace/déterminant, (3) log-concavité du déterminant (la plus difficile), (4) majoration ln det(A + tIn) à l'aide de tr(A) (courte et facile), (5) DL de det(A + tM) et de (A + tM)⁻¹, comportement asymptotique. L'échelonnement des notes est très satisfaisant.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1, Résultats classiques (théorème spectral, racine carrée, Jensen)(Q1-Q?)Niveau attendu
Équivalence positivité matrice / positivité du spectre ; convexité de Sn++(R) ; existence d'une racine carrée pour Sn++(R) ; inégalité de convexité (Jensen). Très proches du cours.
- Partie II — Partie 2, Inégalité trace-déterminant(Q?-Q?)Niveau attendu
Démonstration et amélioration d'une inégalité classique portant sur la trace et le déterminant. Assez élémentaire.
- Partie III — Partie 3, Log-concavité du déterminant sur Sn+(R)(Q?-Q?)Difficile
Nettement plus difficile. Démontre la log-concavité du déterminant sur Sn+(R).
- Partie IV — Partie 4, Majoration ln det(A + tI) via tr(A)(Q?-Q?)Niveau attendu
Courte et facile. On y majore le logarithme du déterminant de A + tIn à l'aide de la trace de A.
- Partie V — Partie 5, DL de det(A + tM) et de (A + tM)⁻¹(Q?-Q?)Difficile
Établit les développements limités de t → det(A + tM) et de t → (A + tM)⁻¹ pour obtenir un comportement asymptotique de (det(I + tM))^(−α) pour α > −1/n fixé. Fonctions vectorielles.
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2023 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths I 2023
L'épreuve Maths I Mines-Ponts PSI 2023 s'est déroulée fin avril 2023, durée 3h, coefficient 4. Concours commun Mines-Ponts qui ouvre 9 écoles d'ingénieur en filière PSI (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Inégalités de convexité portant sur des fonctions définies sur Sn+(R) et Sn++(R) (matrices symétriques positives et définies positives). Thèmes : analyse de 1ère année (convexité), algèbre linéaire, algèbre bilinéaire ; le théorème spectral joue un rôle essentiel. Les fonctions vectorielles apparaissent en fin de problème. Le sujet établit notamment la log-concavité du déterminant sur Sn+(R) et donne des développements limités de t → det(A + tM) et t → (A + tM)⁻¹.
Le rapport jury officiel CCMP est disponible via le lien ci-dessus. Notre analyse synthétise ses commentaires sur les copies. La section méthode ci-dessous donne les leviers Hadamard généraux pour cette épreuve.
Méthode Hadamard
Comment aborder ce sujet
Trois leviers Hadamard pour cette épreuve :
- Annales en blanc dans les conditions du concours (durée stricte, sans calculatrice).
- Cours rigoureux : définitions exactes, énoncés des théorèmes avec hypothèses (TCD, théorème spectral…).
- Rédaction et présentation : Mines-Ponts demande des résultats soulignés et une copie aérée.
Accompagnement personnalisé
Travaillez ce sujet avec un prof de l'équipe
Nos professeurs anciens taupins (Polytechnique, ENS, Centrale) reprennent ce sujet avec toi en cours particulier — corrigé ligne par ligne, méthode, pièges évités.
Structure du sujet
5 parties pour Maths I 2023
Partie 1
Q1-Q?Difficulté moyennePartie 1, Résultats classiques · théorème spectral, racine carrée, Jensen
Équivalence positivité matrice / positivité du spectre ; convexité de Sn++(R) ; existence d'une racine carrée pour Sn++(R) ; inégalité de convexité (Jensen). Très proches du cours.
Partie 2
Q?-Q?Difficulté moyennePartie 2, Inégalité trace-déterminant
Démonstration et amélioration d'une inégalité classique portant sur la trace et le déterminant. Assez élémentaire.
Partie 3
Q?-Q?DifficilePartie 3, Log-concavité du déterminant sur Sn+(R)
Nettement plus difficile. Démontre la log-concavité du déterminant sur Sn+(R).
Partie 4
Q?-Q?Difficulté moyennePartie 4, Majoration ln det(A + tI) via tr(A)
Courte et facile. On y majore le logarithme du déterminant de A + tIn à l'aide de la trace de A.
Partie 5
Q?-Q?DifficilePartie 5, DL de det(A + tM) et de (A + tM)⁻¹
Établit les développements limités de t → det(A + tM) et de t → (A + tM)⁻¹ pour obtenir un comportement asymptotique de (det(I + tM))^(−α) pour α > −1/n fixé. Fonctions vectorielles.
Approfondissement
4 leviers pour gagner des points
Nos profs Hadamard, anciens taupins admis à Polytechnique, aux ENS, à CentraleSupélec, Mines Paris ou Ponts ParisTech, ont tous passé ce type d'épreuve. Voici les leviers concrets qu'ils transmettent à leurs élèves pour Maths I Mines-Ponts PSI.
Levier 1
Gestion du temps
3h d'épreuve, coefficient 4. Réserver 10-15 min de lecture intégrale, traiter les questions accessibles en priorité, garder 15-20 min de relecture finale. Sur Mines-Ponts, une réponse partielle bien rédigée vaut mieux qu'un brouillon complet illisible.
Levier 2
Hypothèses des théorèmes
Citer un théorème ne suffit pas, vérifier explicitement chaque hypothèse (continuité, intégrabilité, dimension finie, hypothèses de domination). C'est la différence entre la moyenne et le top 10% sur Mines-Ponts.
Levier 3
Présentation de la copie
Numéroter les questions cohéremment, encadrer ou souligner les résultats, écriture lisible (pas de stylo qui bave, pas d'écriture minuscule). Le rapport Mines-Ponts insiste : aucun bénéfice du doute n'est accordé sur une copie illisible.
Levier 4
Progression par paliers
Le sujet 2023 se décompose en 5 parties. Sécuriser entièrement la première avant de passer à la suivante : un palier propre rapporte plus que trois paliers bâclés. Les questions de cours et applications directes sont à viser à 100%.
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Réviser
Chapitres à prioriser après ce sujet
- Algèbre bilinéaire, théorème spectral, matrices symétriques (définies) positives
- Convexité (Jensen), analyse 1ère année
- Trace et déterminant, inégalités classiques
- Fonctions vectorielles et développements limités
- Réduction des endomorphismes symétriques, chapitre Hadamard avec définitions, théorèmes et exercices corrigés.
Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le sujet Maths I 2023 se découpe en 5 parties. Stratégie : sécuriser les questions de cours et de calcul direct avant d'attaquer les questions discriminantes.
Si tu vises 9-12/20 (IMT Atlantique / Télécom Paris)
Concentre-toi sur les questions de cours et de calcul direct. Les questions d'ouverture sont conçues pour être abordables, il suffit d'identifier le bon théorème et de poser correctement les hypothèses.
Si tu vises 14+ (Mines Paris / Ponts ParisTech)
Tu dois aller jusqu'au bout du sujet. L'élément discriminant : justifier proprement les hypothèses (intégrabilité, continuité, hypothèses des théorèmes) et soigner les applications numériques jusqu'à l'unité finale.
Gestion des 3h : 5-10 min de lecture intégrale, traitement linéaire en sécurisant le cours, finir par les questions de synthèse. Numérisation des copies : ratures propres, pas d'encre gommable, résultats soulignés ou encadrés.
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Vérifier les hypothèses des théorèmes avant de les appliquer, citer un théorème ne suffit pas.
- Soigner la présentation : copies numérotées, résultats encadrés, écriture lisible. Le rapport Mines-Ponts l'exige explicitement.
- Lire le sujet en entier avant de commencer pour identifier le fil conducteur.
- Mieux vaut bien traiter une partie que produire un discours inconsistant sur tout le sujet.
- Indiquer les unités et ordres de grandeur sur chaque application numérique.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ