Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet d'analyse couvrant tous les outils des deux années de prépa autour de l'étude asymptotique des partitions d'entiers. Les questions sont de difficultés variées (cours, applications, vraiment difficiles). Le sujet est très long et les deux dernières parties n'ont pour ainsi dire pas été abordées. Les trois premières, relativement indépendantes, ont permis aux candidats de montrer leurs qualités et d'étalonner les copies de manière très satisfaisante.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Convergence et séries entières(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 série entière (lemme d'Abel, d'Alembert). Q2 reconnaître une série entière de rayon > 1 (confusions « inclus dans [-1,1] » vs « incluant »). Q3 fonction dérivable de dérivée nulle = constante. Q4 deux arguments. Q5 non nullité de P(z) — pas l'argument exponentielle dans R+* (faux sur C).
- Partie II — Partie 2 — Intégrales et formule de Stirling(Q6-Q10)Difficile
Q6 continu par morceaux (limites aux bornes). Q7 caractère borné et comportement à l'infini. Q8 découper l'intégrale (récurrence ou somme). Q9 majoration + Stirling. Q10 permutation série/intégrale (théorème de sommation L¹ ou TCD).
- Partie III — Partie 3 — Intégrales à paramètre, séries alternées(Q11-Q18)Très difficile
Q11 très difficile. Q12 théorème de continuité des intégrales à paramètre + prolongement à la limite. Q13 séries alternées (faute dans le signe — récompensée si signalée). Q14 convergence uniforme + continuité pour passer à la limite. Q15 peu abordée. Q16 question de synthèse, DA précis. Q17…
- Partie IV — Parties 4-5 — Étude asymptotique finale(Q19+)Très difficile
La suite du problème est très peu abordée.
Analyse globale du jury
« Sujet très long et les deux dernières parties n'ont pour ainsi dire pas été abordées. Les trois premières, relativement indépendantes, ont permis aux candidats de montrer leurs qualités et d'étalonner les copies de manière très satisfaisante. La maîtrise des techniques et des résultats du cours est indispensable pour réussir les concours. Beaucoup de candidats l'ont heureusement compris. »
Top pièges sanctionnés
Q5 : justifier la non nullité de P(z) sur C par « l'exponentielle est à valeurs dans R+* » (faux sur C)-2 pts
« Peu de candidats ont traité correctement cette question, a priori facile. Le premier point est souvent faux : la plupart des candidats justifient la non nullité de P(z) par le fait que l'exponentielle est à valeurs dans R+*, ce qui est évidemment faux sur C. »
Q2 : confondre « inclus dans [-1, 1] » et « incluant [-1, 1] »-2 pts
« Beaucoup de confusions chez les candidats. Peu d'entre eux reconnaissent une série entière dont le rayon est strictement supérieur à 1. Certains appliquent le théorème de régularité C¹ des séries de fonctions en confondant « inclus dans [−1, 1] » et « incluant [−1, 1] ». D'autres enfin dérivent terme à terme sans aucune justification. »
Q6 : oublier que continu par morceaux nécessite des limites aux bornes-1 pts
« Question très élémentaire, souvent imparfaitement traitée. Rappelons que le caractère continu par morceaux nécessite l'existence de limites à gauche et à droite aux bornes. »
Q10 : calcul uniquement formel sans citer théorème de sommation L¹ ou TCD-1 pts
« On utilise ici une permutation série intégrale soit avec le théorème de sommation L¹, soit avec le théorème de convergence dominée appliqué aux sommes partielles. Un calcul uniquement formel était faiblement récompensé. »
Q18 : coefficients de la série entière dépendant de z-1 pts
« La question est assez élémentaire, mais on a vu beaucoup de coefficients de la série entière dépendant de z. »
Tracer un graphe : très peu de candidats ont le réflexe — initiative valorisée-1 pts
« Très peu de candidats ont le réflexe de tracer un ou deux graphes. Les correcteurs ont apprécié et valorisé cette initiative. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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FAQ
