Top piège du sujet
Q4 : factorisation ne tenant pas compte des racines spécifiques 1 et −1 (les seules pour lesquelles a = 1/a)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
10.90
Médiane
10.9
Écart-type
4.16
Q1 (25%)
8.1
Q3 (75%)
13.7
Candidats présents
4 689
sur 4 879 inscrits · 3.8% d'absents
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet d'algèbre générale et linéaire : étude des matrices semblables à leur inverse via les polynômes réciproques/antiréciproques, le polynôme caractéristique, et la décomposition en blocs de Jordan (admise dans l'énoncé). Le théorème principal, A semblable à son inverse ⟺ A est produit de deux matrices de symétrie, est démontré progressivement en 21 questions. Sujet de longueur et difficulté technique raisonnables, qui a permis de récompenser les candidats possédant une bonne maîtrise du…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1, Polynômes réciproques et antiréciproques(Q1-Q5)Niveau attendu
Caractérisation en termes de racines des polynômes P tels que P(X) = X^deg(P) P(1/X). La partie a révélé une maitrise inégale de la notion de multiplicité d'une racine et a déjà opéré un premier tri entre les copies.
- Partie II — Partie 2, Implication χA réciproque/antiréciproque(Q6-Q9)Niveau attendu
On montre que A semblable à son inverse ⇒ χA réciproque ou antiréciproque, puis l'implication inverse dans le cas diagonalisable, et qu'elle n'est pas vraie en général via un contre-exemple. Maniement du polynôme caractéristique plutôt satisfaisant ; les calculs concrets d'éléments propres en Q9…
- Partie III — Partie 3, Sens facile : produit de symétries ⇒ semblable à son inverse(Q10-Q13)Niveau attendu
Q10 prouve le sens facile. Confusions chez un nombre non négligeable de candidats entre matrice de symétrie (notion redéfinie dans l'énoncé) et matrice symétrique.
- Partie IV — Partie 4, Sens difficile via blocs de Jordan(Q14-Q21)Très difficile
Manipulation des matrices nilpotentes problématique pour beaucoup. Calcul de s₁ ∘ s₂ délicat, erreurs d'homogénéité (s₁² vs s₁²(P)). Q14 et Q17 ont permis de classer efficacement les copies. Q19-Q20 réservées aux meilleurs ; Q21 (synthèse finale) pratiquement jamais abordée, logique compte-tenu…
Analyse globale du jury
« Sujet de longueur et de difficulté technique raisonnables mais nécessitait une bonne maîtrise du cours d'algèbre (générale et linéaire). Il a permis de récompenser les candidats possédant des connaissances solides et une bonne pratique dans ces domaines et de mettre en valeur quelques excellentes copies où la démarche générale du problème a été bien comprise et la dernière partie abordée. Le jury déplore une dégradation de la rédaction et de la présentation des copies, trop de candidats présentent des suites d'arguments d'où une structure peine à émerger, semblant laisser le soin au correcteur de faire le tri. »
Top pièges sanctionnés
Q4 : factorisation ne tenant pas compte des racines spécifiques 1 et −1 (les seules pour lesquelles a = 1/a)-2 pts
« Beaucoup de raisonnements sont incorrects car basés sur une factorisation de P ne prenant pas en compte la spécificité des racines 1 et −1 (les seules pour lesquelles a = 1/a). A noter qu'un nombre significatif de candidats a mal interprété l'indication et cherché à démontrer que −1 et 1 sont les seules racines possibles. »
Q9 : arguments incorrects pour montrer que B et B⁻¹ ne sont pas semblables (oubli du rang comme invariant)-2 pts
« Les arguments pour montrer que B et B⁻¹ ne sont pas semblables étaient incorrects dans une large majorité des copies. On pouvait par exemple conclure en remarquant que le rang est un invariant de similitude. »
Q10 : erreurs sur le déterminant ou affirmer que A est une matrice de symétrie-1 pts
« Question souvent abordée mais traitée avec un succès inégal. Notons quelques erreurs fréquentes : affirmer que A est de déterminant 1 ou bien qu'elle est une matrice de symétrie. »
Confusion matrice de symétrie / matrice symétrique malgré la définition de l'énoncé-2 pts
« La partie 3 a montré chez un nombre non négligeable de candidats des confusions entre matrice de symétrie (notion pourtant redéfinie dans l'énoncé) et matrice symétrique. »
Q15 : formule de Bernoulli rarement invoquée pour le calcul de l'inverse-1 pts
« Peu de bonnes réponses pour le calcul de l'inverse. La formule de Bernoulli est rarement invoquée. »
Manque de rigueur de présentation : pas de hiérarchie des idées, on laisse le correcteur faire le tri-2 pts
« Trop de candidats présentent des suites d'arguments d'où une structure peine à émerger en semblant laisser le soin au correcteur de faire le tri. Rappelons quelques conseils simples qui favorisent l'appréciation des copies : souligner ou encadrer les résultats, aérer la présentation, annoncer sa démarche au début d'un raisonnement et citer clairement les résultats du cours utilisés ainsi que leurs hypothèses. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Contexte
L'épreuve Maths I 2025
L'épreuve Maths I Mines-Ponts PSI 2025 s'est déroulée fin avril 2025, durée 3h, coefficient 4. Le concours commun Mines-Ponts ouvre 9 écoles d'ingénieur en filière PSI (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Conditions pour qu'une matrice A soit semblable à son inverse, avec démonstration du théorème : « Une matrice carrée est semblable à son inverse si et seulement si elle est produit de deux matrices de symétrie ». Le sujet est construit en quatre parties : polynômes réciproques et antiréciproques (caractérisation par les racines), implication χA réciproque/antiréciproque, sens facile (produit de deux symétries ⇒ semblable à son inverse), puis sens difficile via décomposition en blocs de Jordan (a
Le rapport jury : « Sujet de longueur et de difficulté technique raisonnables mais nécessitait une bonne maîtrise du cours d'algèbre (générale et linéaire). Il a permis de récompenser les candidats possédant des connaissances solides et une bonne pratique dans ces domaines et de mettre en valeur quelques excellentes copies où la démarche générale du problème a été bien comprise et la dernière partie abordée. Le jury déplore une dégradation de la rédaction et de la présentation des copies, trop de candidats… ». Voir la synthèse complète plus haut.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2025 pointe : « Beaucoup de raisonnements sont incorrects car basés sur une factorisation de P ne prenant pas en compte la spécificité des racines 1 et −1 (les seules pour lesquelles a = 1/a). A noter qu'un nombre significatif de candidats a mal interprété l'indication et cherché à démontrer que −1 et 1 sont les se ». Stratégie clé : maîtriser le cours et soigner la rédaction. Mines-Ponts pénalise les copies bâclées même quand le calcul est juste.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Sécurise les questions de cours (définitions, énoncés des théorèmes avec hypothèses) et les questions calculatoires de début de sujet. La majorité des points se gagne là.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Aborde les questions difficiles seulement si Q1-Q60% sont propres. Le jury préfère des copies courtes et propres aux copies longues et brouillonnes.
Gestion des 3h : lecture intégrale du sujet (5-10 min), traitement linéaire en sécurisant le cours, finir par les questions de synthèse. Numérisation des copies : ratures propres, pas d'encre gommable, résultats soulignés.
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Q4 : factorisation ne tenant pas compte des racines spécifiques 1 et −1 (les seules pour lesquelles a = 1/a) : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Q9 : arguments incorrects pour montrer que B et B⁻¹ ne sont pas semblables (oubli du rang comme invariant) : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Q10 : erreurs sur le déterminant ou affirmer que A est une matrice de symétrie : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Confusion matrice de symétrie / matrice symétrique malgré la définition de l'énoncé : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Q15 : formule de Bernoulli rarement invoquée pour le calcul de l'inverse : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ