Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet d'algèbre générale et linéaire : étude des matrices semblables à leur inverse via les polynômes réciproques/antiréciproques, le polynôme caractéristique, et la décomposition en blocs de Jordan (admise dans l'énoncé). Le théorème principal — A semblable à son inverse ⟺ A est produit de deux matrices de symétrie — est démontré progressivement en 21 questions. Sujet de longueur et difficulté technique raisonnables, qui a permis de récompenser les candidats possédant une bonne maîtrise du…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Polynômes réciproques et antiréciproques(Q1-Q5)Niveau attendu
Caractérisation en termes de racines des polynômes P tels que P(X) = X^deg(P) P(1/X). La partie a révélé une maitrise inégale de la notion de multiplicité d'une racine et a déjà opéré un premier tri entre les copies.
- Partie II — Partie 2 — Implication χA réciproque/antiréciproque(Q6-Q9)Niveau attendu
On montre que A semblable à son inverse ⇒ χA réciproque ou antiréciproque, puis l'implication inverse dans le cas diagonalisable, et qu'elle n'est pas vraie en général via un contre-exemple. Maniement du polynôme caractéristique plutôt satisfaisant ; les calculs concrets d'éléments propres en Q9…
- Partie III — Partie 3 — Sens facile : produit de symétries ⇒ semblable à son inverse(Q10-Q13)Niveau attendu
Q10 prouve le sens facile. Confusions chez un nombre non négligeable de candidats entre matrice de symétrie (notion redéfinie dans l'énoncé) et matrice symétrique.
- Partie IV — Partie 4 — Sens difficile via blocs de Jordan(Q14-Q21)Très difficile
Manipulation des matrices nilpotentes problématique pour beaucoup. Calcul de s₁ ∘ s₂ délicat, erreurs d'homogénéité (s₁² vs s₁²(P)). Q14 et Q17 ont permis de classer efficacement les copies. Q19-Q20 réservées aux meilleurs ; Q21 (synthèse finale) pratiquement jamais abordée — logique compte-tenu…
Analyse globale du jury
« Sujet de longueur et de difficulté technique raisonnables mais nécessitait une bonne maîtrise du cours d'algèbre (générale et linéaire). Il a permis de récompenser les candidats possédant des connaissances solides et une bonne pratique dans ces domaines et de mettre en valeur quelques excellentes copies où la démarche générale du problème a été bien comprise et la dernière partie abordée. Le jury déplore une dégradation de la rédaction et de la présentation des copies — trop de candidats présentent des suites d'arguments d'où une structure peine à émerger, semblant laisser le soin au correcteur de faire le tri. »
Top pièges sanctionnés
Q4 : factorisation ne tenant pas compte des racines spécifiques 1 et −1 (les seules pour lesquelles a = 1/a)-2 pts
« Beaucoup de raisonnements sont incorrects car basés sur une factorisation de P ne prenant pas en compte la spécificité des racines 1 et −1 (les seules pour lesquelles a = 1/a). A noter qu'un nombre significatif de candidats a mal interprété l'indication et cherché à démontrer que −1 et 1 sont les seules racines possibles. »
Q9 : arguments incorrects pour montrer que B et B⁻¹ ne sont pas semblables (oubli du rang comme invariant)-2 pts
« Les arguments pour montrer que B et B⁻¹ ne sont pas semblables étaient incorrects dans une large majorité des copies. On pouvait par exemple conclure en remarquant que le rang est un invariant de similitude. »
Q10 : erreurs sur le déterminant ou affirmer que A est une matrice de symétrie-1 pts
« Question souvent abordée mais traitée avec un succès inégal. Notons quelques erreurs fréquentes : affirmer que A est de déterminant 1 ou bien qu'elle est une matrice de symétrie. »
Confusion matrice de symétrie / matrice symétrique malgré la définition de l'énoncé-2 pts
« La partie 3 a montré chez un nombre non négligeable de candidats des confusions entre matrice de symétrie (notion pourtant redéfinie dans l'énoncé) et matrice symétrique. »
Q15 : formule de Bernoulli rarement invoquée pour le calcul de l'inverse-1 pts
« Peu de bonnes réponses pour le calcul de l'inverse. La formule de Bernoulli est rarement invoquée. »
Manque de rigueur de présentation : pas de hiérarchie des idées, on laisse le correcteur faire le tri-2 pts
« Trop de candidats présentent des suites d'arguments d'où une structure peine à émerger en semblant laisser le soin au correcteur de faire le tri. Rappelons quelques conseils simples qui favorisent l'appréciation des copies : souligner ou encadrer les résultats, aérer la présentation, annoncer sa démarche au début d'un raisonnement et citer clairement les résultats du cours utilisés ainsi que leurs hypothèses. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
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