Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.46
Médiane
8.5
Écart-type
3.74
Q1 (25%)
5.9
Q3 (75%)
11.0
Candidats présents
1 595
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le but du problème est d'étudier la diagonalisabilité des matrices symétriques à coefficients rationnels et de caractériser les nombres réels qui apparaissent comme valeurs propres de telles matrices. Le sujet traverse algèbre linéaire, arithmétique des polynômes, formes quadratiques et théorème spectral, en quatre parties : exemples (√2, √3, ∛2, cos(2π/n)), arithmétique des polynômes via fonctions rationnelles, ensemble R des nombres totalement réels (sous-corps de ℝ) et…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Première partie — Exemples : valeurs propres irrationnelles dans S_n(ℚ)(Q1-Q5)Niveau attendu
Construction explicite (√2 vp d'une matrice de S_2(ℚ)) ; preuve d'impossibilité (√3, ∛2 ne sont jamais vp d'une matrice symétrique rationnelle), via arithmétique modulo 3 et irréductibilité de X³−2 sur ℚ ; construction de matrices commutantes dont le carré est qI_n. Largement abordée par les copi...
- Partie II — Deuxième partie — Arithmétique des polynômes via les sommes de puissances de racines(Q6-Q9)Difficile
Polynôme réciproque, développement en série entière de Q'/Q, équivalence : P ∈ ℚ[X] ⇔ N_n = Σλ_i^n ∈ ℚ pour tout n. Q6 et Q9 généralement bien traitées, Q8a-8b plus difficiles à rédiger (récurrence descendante, gestion du cas 0 racine).
- Partie III — Troisième partie — Nombres totalement réels et totalement positifs(Q10-Q12)Difficile
Conséquence du théorème spectral (Q10) ; structure de sous-corps de R (Q11a) ; stabilité de R^+ (Q11b) ; caractérisation x totalement réel ⇔ x² totalement positif (Q12). Q10 bien traitée, Q11 souvent imprécise (oubli de 0 ∈ R, opposé), Q12 plutôt mal traitée.
- Partie IV — Quatrième partie — Réciproque : tout nombre totalement réel est valeur propre d'une matrice symétrique rationnelle(Q13-Q18)Très difficile
Construction de la forme quadratique B(X,Y) = X^T S Y via la fonction t : R → ℚ, démonstration que B est un produit scalaire, base orthogonale rationnelle, diagonalisation S = P^T·Diag(q_i)·P, matrice compagnon de Z(X), symétrie de RMR^{-1}. Très peu de copies sont allées loin dans cette partie.
Analyse globale du jury
« Sujet très bien équilibré et permettant d'aborder l'arithmétique des nombres et des polynômes, le calcul matriciel, l'algèbre linéaire et bilinéaire. Comme l'année précédente, peu de questions admettaient des réponses purement calculatoires et la capacité à développer une argumentation claire et une rédaction précise était nécessaire pour pouvoir traiter une grande partie du sujet. Les questions étaient bien posées et précises, les réponses attendues, sans être évidentes, ne nécessitaient pas en général des rédactions complexes de plusieurs pages ni des vérifications fastidieuses. Sur 1595 copies de candidats français : moyenne 8,46/20, écart-type 3,74. Quelques copies, une vingtaine, étaient excellentes, certaines ayant traité l'intégralité du sujet. Trois premières… »
Top pièges sanctionnés
Survoler le sujet à grappiller des questions faciles plutôt que d'avancer linéairement-3 pts
« trop souvent, certains candidats ont commencé à grappiller des points en passant directement à la deuxième partie. Cette stratégie s'est rarement révélée payante. Il est largement préférable d'essayer d'avancer linéairement dans un sujet : un candidat qui aurait parfaitement traité les trois premières parties aurait eu 17. »
Affirmer que √3 + x ne peut être rationnel que si x = -√3 (Q2a)-1 pts
« Une erreur très fréquente a été d'affirmer que √3+x ne peut être rationnel que si x = -√3. Une autre erreur fréquemment faite, de manière plus ou moins explicite, a consisté à affirmer que ℚ ∩ (ℝ \ ℚ) = {0}. »
Confondre 'premiers entre eux dans leur ensemble' et 'premiers entre eux deux à deux' (Q2c)-2 pts
« Beaucoup de candidats ont confondu "premiers entre eux dans leur ensemble" et "premiers entre eux deux à deux". »
Ne pas écrire explicitement l'hypothèse de récurrence (Q3b notamment)-1 pts
« L'hypothèse de récurrence méritait d'être explicitement posée (notamment en quantifiant le n). La vérification de la commutativité de la famille construite a parfois été faite de manière un peu superficielle. »
Ne pas savoir passer de la représentation par coefficients à la représentation par racines d'un polynôme-2 pts
« Un candidat au concours de l'École Polytechnique ou des ENS doit être capable de passer de l'une à l'autre sans difficulté. Cela n'a pas été le cas pour certains qui ont perdu du temps, de l'énergie et des points en adoptant le mauvais point de vue (sur les questions 2 a), 6), 7), 11 a) et 12) par exemple). »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths MP, session 2020 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
