Top piège du sujet
Tenter de grappiller des questions difficiles plutôt que de réussir solidement les questions consécutives moyennes
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.47
Médiane
9.5
Écart-type
3.81
Q1 (25%)
6.9
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
1 580
Calculateur
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en trois parties indépendantes mêlant probabilités et analyse asymptotique. Partie I : démonstration du principe de grandes déviations pour S_n moyenne empirique de variables de Bernoulli symétriques (P[X=±1]=1/2), avec la transformée de Legendre Ψ(t)=inf(ψ(λ)−λt). Partie II : comportement asymptotique de l'intégrale de Laplace I_t = ∫e^{tf(x)}dx, application à la formule de Stirling. Partie III : intégrale oscillante J_t = ∫g(x)sin(tf(x))dx liée aux intégrales de…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Principe de grandes déviations pour une Bernoulli symétrique(Q1-Q8)Difficile
Inégalité de type Markov/Chernoff (Q1, 90% de réussite) ; symétrie P[S_n≥0]≥1/2 (Q2, 60%) ; majoration log P[S_n≥t] ≤ inf(ψ(λ)−λt) (Q3, 80%) ; bijectivité de m sur ]−1,1[ (Q4, 80%) ; passage à la lim avec contrôle L² (Q5a 40%, Q5b 23%) ; minoration via fonction indicatrice (Q6 40%, Q7 10%) ; exis...
- Partie II — Partie II, Méthode de Laplace et formule de Stirling(Q9-Q12)Difficile
Hypothèse (H) : maximum unique en x_0 intérieur, f''(x_0) ≠ 0. Q9 (53% de réussite) sur la nécessité de C^∞ ; localisation de l'intégrale (Q10, 23%) ; équivalent gaussien (Q11) ; n! comme intégrale (Q12a, 85%) ; déduction de la formule de Stirling (Q12b).
- Partie III — Partie III, Intégrales oscillantes et intégrales de Fresnel(Q13-Q20)Très difficile
Non-intégrabilité absolue de sin(x²) (Q13, 33%) ; développement en série (Q14, 78%) ; existence des limites de Fresnel (Q15, 22%) ; développement asymptotique par IPP triple (Q16, 10%) ; localisation de l'oscillation près de x_0 (Q17, 1% de réussite) ; bijection h(x) = √|f(x)−f(x_0)| (Q18) ; équi...
Analyse globale du jury
« Cette année, le concours d'admission de l'École Polytechnique s'est déroulé pendant l'épidémie de Covid-19 et était soumis aux nombreuses mesures restrictives qui l'accompagnaient. De ce fait, le concours était plus difficile qu'à la normale, tant pour la préparation des candidats que pour l'organisation d'épreuves. Sujet en trois parties indépendantes : Partie I requiert la maîtrise solide des bases de probabilités du programme MPSI ; Parties II et III font appel aux notions clés d'analyse classique du programme MPSI (équivalents, passage à la limite sous le signe d'intégrale, intégration par parties, asymptotique d'intégrales, etc.). Sur 1580 copies : moyenne 9,47/20, écart-type 3,81. Distribution : [0;4[ 6,71%, [4;8[ 32,66%, [8;12[ 30,82%, [12;16[ 26,27%, [16;20]… »
Top pièges sanctionnés
Tenter de grappiller des questions difficiles plutôt que de réussir solidement les questions consécutives moyennes-3 pts
« il est préférable de s'attacher à traiter correctement plusieurs questions consécutives et parmi elles des questions plus difficiles, plutôt que d'essayer de survoler toutes les parties et de tenter de "grappiller" des points sur les questions les plus faciles. Le barème est établi de sorte qu'une telle stratégie est forcément vouée à l'échec. »
Affirmer que F(x) = sin(x²) est √(2π)-périodique ou que |sin(x²)| ≥ (2/π)x² pour tout x (Q13)-2 pts
« C'est une énormité de dire que la fonction F(x) = sin(x²) est √(2π)-périodique. Idem de dire que |sin(x²)| ≥ (2/π)x² pour tout x réel, car cette inégalité est valable seulement sur un voisinage convenable du point x_0 = 0. »
Croire qu'une fonction continue positive avec lim = 0 a une intégrale convergente (et réciproquement)-2 pts
« Soit f une fonction continue et positive sur [0,+∞[. Il doit être absolument clair pour tous les candidats qu'aucune implication n'est valide entre les deux propriétés suivantes : 1. lim_{x→+∞} f(x) = 0 ; 2. ∫₀^∞ f(x) dx converge. »
Déduire la convergence de Q15 du résultat de Q14 (rayon de convergence vs bord)-2 pts
« Il est impossible de déduire le résultat de la Question 15 à partir de celui de la Question 14. En effet, le rayon de convergence de la série entière de la Question 14 est R = +∞. Dans la Question 15, on considère a → +∞ ; le paramètre a "sort" donc sur le bord de l'intervalle de convergence de la série, et on ne peux plus utiliser le changement d'ordre d'intégration et de la sommation dues à la convergence normale (uniforme) à l'intérieur de l'intervalle de convergence. »
Dans Q9, déduire f''(x_0) < 0 de (H) seul (sans utiliser C^∞)-2 pts
« il est facile de construire une fonction f : [a,b] → ℝ, x_0 ∈ ]a,b[ avec les propriétés suivantes : la fonction f est de classe C¹ sur [a,b], le point x_0 est un maximum local (ou global) de la fonction, la dérivée f'(x) change de signe un nombre infini de fois sur tout intervalle de forme ]x_0−δ,x_0[. […] Bien évidemment, ce phénomène est impossible pour une fonction de classe C² (ou C^∞) sur [a,b]. En répondant à cette question, bien des candidats ont donné des raisonnements faux utilisant seulement la condition (H) et sans faire appel à la condition C^∞. »
Chapitres clés à maîtriser
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Source : Rapport du jury X-ENS · Maths MP, session 2020 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
- Partie I, Principe de grandes déviations pour une Bernoulli symétrique (Q1-Q8 · moyen-dur)
- Partie II, Méthode de Laplace et formule de Stirling (Q9-Q12 · dur)
- Partie III, Intégrales oscillantes et intégrales de Fresnel (Q13-Q20 · tres-dur)
Conseils du jury
Pièges sanctionnés par le rapport
- Tenter de grappiller des questions difficiles plutôt que de réussir solidement les questions consécutives moyennes : « il est préférable de s'attacher à traiter correctement plusieurs questions consécutives et parmi elles des questions plus difficiles, plutôt que d'essayer de survoler toutes les parties et de tenter de "grappiller" des points sur les questions les plus faciles. Le barème est étab... »
- Affirmer que F(x) = sin(x²) est √(2π)-périodique ou que |sin(x²)| ≥ (2/π)x² pour tout x (Q13) : « C'est une énormité de dire que la fonction F(x) = sin(x²) est √(2π)-périodique. Idem de dire que |sin(x²)| ≥ (2/π)x² pour tout x réel, car cette inégalité est valable seulement sur un voisinage convenable du point x_0 = 0. »
- Croire qu'une fonction continue positive avec lim = 0 a une intégrale convergente (et réciproquement) : « Soit f une fonction continue et positive sur [0,+∞[. Il doit être absolument clair pour tous les candidats qu'aucune implication n'est valide entre les deux propriétés suivantes : 1. lim_{x→+∞} f(x) = 0 ; 2. ∫₀^∞ f(x) dx converge. »
- Déduire la convergence de Q15 du résultat de Q14 (rayon de convergence vs bord) : « Il est impossible de déduire le résultat de la Question 15 à partir de celui de la Question 14. En effet, le rayon de convergence de la série entière de la Question 14 est R = +∞. Dans la Question 15, on considère a → +∞ ; le paramètre a "sort" donc sur le bord de l'intervalle de... »
- Dans Q9, déduire f''(x_0) < 0 de (H) seul (sans utiliser C^∞) : « il est facile de construire une fonction f : [a,b] → ℝ, x_0 ∈ ]a,b[ avec les propriétés suivantes : la fonction f est de classe C¹ sur [a,b], le point x_0 est un maximum local (ou global) de la fonction, la dérivée f'(x) change de signe un nombre infini de fois sur tout intervall... »
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