Top piège du sujet
Confondre GL_n(ℤ) avec GL_n(ℂ) ∩ M_n(ℤ) (matrices à coefficients entiers inversibles)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.82
Médiane
8.8
Écart-type
4.35
Q1 (25%)
5.9
Q3 (75%)
11.8
Candidats présents
1 436
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +0.36 par rapport à 2020 (8.82 vs 8.46). Écart-type plus élevé (σ 3.74 → 4.35), notes plus dispersées. Effectif -10% (1595 → 1436 présents).
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet transversal mêlant algèbre linéaire, théorie des groupes, arithmétique et raisonnements sur les polynômes. Le but est de démontrer que pour tout n ∈ ℕ*, il existe une borne (ne dépendant que de n) sur le cardinal des sous-groupes finis de GL_n(ℤ), d'en expliciter une, et d'en donner une majoration raffinée pour les sous-groupes dont le cardinal est une puissance d'un nombre premier. Préliminaires sur les racines de l'unité et la valuation p-adique de m!. Partie 1 (cas…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Préliminaires, Racines de l'unité, diagonalisabilité des éléments d'ordre fini, valuation p-adique de m!(Préliminaires Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 (|z|=1) abordée dans toutes les copies mais souvent rédigée trop vite. Q2 (g ∈ GL_n(ℂ) d'ordre fini est diagonalisable) abordée par la majorité, mais il fallait préciser que X^d−1 est scindé à racines simples. Q3a-3b (Legendre : v_q(m!) = Σ⌊m/q^i⌋) parfois traitée maladroitement.
- Partie II — Partie 1, Éléments d'ordre fini de GL_n(ℤ)(Q1-Q7)Difficile
Cas n=2 (Q1-4) : |Tr(g)| ≤ 2 ; déterminer les ordres possibles selon que g a des vp réelles (±1) ou non (X²+1, X²+X+1, X²−X+1) ; conclure d ∈ {1,2,3,4,6}. Cas général (Q5-7) : majoration des coefficients du polynôme caractéristique |a_i| ≤ C(n,i)α^{n-i}, finitude de {χ_g | g d'ordre fini} (Q6 sou...
- Partie III — Partie 2, Majoration card(G) ≤ 3^{n²} via réduction modulo m(Q1-Q2)Difficile
Q1a : si g ∈ GL_n(ℤ) d'ordre fini avec g − I_n divisible par m, alors A = (g − I_n)/m est diagonalisable sur ℂ avec |λ| < 1, attention à ne pas conclure "M − M' diagonalisable" à partir de M, M' diagonalisables. Q1b-c : il existe k tel que A^k = 0, donc g = I_n. Q2a : injectivité de l'applicatio...
- Partie IV — Partie 3, Traces des éléments d'un p-sous-groupe : Tr(g) ∈ {n − pv | 0 ≤ v ≤ ⌊n/(p-1)⌋}(Q1-Q10)Difficile
Q1a (ℓ premier, ⌊⌋, multiples) classique d'arithmétique, réussie seulement par la moitié. Q1b (idéal ℓR, (x+y)^ℓ ≡ x^ℓ + y^ℓ mod ℓR) bien traitée. Q4a-c (Tr(M^ℓ) ≡ Tr(M) mod ℓ, cas ℓ=2 à part) parfois mal rédigées. Q5 (Tr(g) ≡ n mod p via Fermat). Q6 (Tr(g^ℓ) = Tr(g) pour ℓ > 2n premier) peu trai...
- Partie V — Partie 4, Cardinaux des p-sous-groupes : card(G) ≤ 4^n(Q1-Q6)Très difficile
Q1a (f = (1/|G|)Σg projecteur sur les invariants) souvent abordée mais erronée, il fallait prouver f∘f = f sur ℂ^n entier, pas seulement sur l'image. Q1b (Σ Tr(g) divisible par |G|) vue par seulement la moitié. Q2 (produit tensoriel g⊗h de matrices) sans difficulté de fond, mais demande du temps...
Analyse globale du jury
« Le sujet de cette année abordait la question suivante : Existe-t-il des bornes explicites du cardinal des sous-groupes finis de GL_n(ℤ) ? Sujet assez transversal mêlant algèbre linéaire, théorie des groupes, arithmétique et raisonnements sur les polynômes. Les questions étaient bien posées et précises, et les réponses attendues, sans être évidentes, ne nécessitaient en général pas de rédactions complexes de plusieurs pages ni des vérifications fastidieuses. Globalement, le jury n'a pas constaté de baisse de niveau par rapport aux années précédentes sur cette épreuve, et ce en dépit du contexte sanitaire exceptionnel de l'année passée et de cette année. Un certain nombre de copies étaient excellentes, certaines ayant traité l'intégralité du sujet, ce qui compte-tenu de… »
Top pièges sanctionnés
Confondre GL_n(ℤ) avec GL_n(ℂ) ∩ M_n(ℤ) (matrices à coefficients entiers inversibles)-3 pts
« pour beaucoup de candidats, GL_n(ℤ) (i.e. l'ensemble des matrices inversibles à coefficients dans ℤ dont l'inverse est aussi à coefficients entiers) était identifié avec GL_n(ℂ) ∩ M_n(ℤ) (i.e. l'ensemble des matrices inversibles dont les coefficients sont entiers) ce qui amenait rapidement à une confusion complète dans les réponses. »
Ne pas justifier que l'ordre d'une matrice diagonalisable s'interprète comme ordre des valeurs propres-2 pts
« un certain nombre de copies n'ont jamais justifié/expliqué clairement que l'ordre d'une matrice pouvait s'interpréter en termes d'ordre des valeurs propres une fois qu'on les savait diagonalisables. Il s'agissait d'un point important qui revenait sous une forme plus ou moins explicite dans plusieurs questions du sujet. »
Référence vague type « d'après les résultats précédents » ou « d'après les résultats de la partie 1 »-1 pts
« Le jury tient d'ailleurs à préciser que l'utilisation de résultats de questions antérieures nécessite de faire une référence précise à la fois à la question et au résultat utilisé. Une formulation vague du type "d'après les résultats précédents" ou encore "d'après les résultats de la partie 1" n'est pas suffisamment précise pour être valorisée. »
Affirmer que M − M' est diagonalisable parce que M et M' le sont (Partie 2 Q1a)-2 pts
« Attention néanmoins à la rédaction du caratère diagonalisable. Dans beaucoup de copies, la façon de rédiger laissait entendre que si M et M' sont diagonalisables alors M − M' est diagonalisable ce qui est complètement faux. »
Définir f∘f = f sur le sous-espace vectoriel introduit (Partie 4 Q1a) au lieu de l'espace entier-2 pts
« Pour justifier que l'on avait un projecteur, il était nécessaire de prouver l'égalité f ∘ f = f. Certains candidats ont vérifié cette égalité sur le sous-espace vectoriel introduit dans la question, ce qui est bien sûr insuffisant. La partie concernant l'image a été négligée par beaucoup de candidats alors qu'elle nécessitait une démonstration. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths MP, session 2021 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
Accompagnement personnalisé
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
- Préliminaires, Racines de l'unité, diagonalisabilité des éléments d'ordre fini, valuation p-adique de m! (Préliminaires Q1-Q3 · moyen)
- Partie 1, Éléments d'ordre fini de GL_n(ℤ) (Q1-Q7 · moyen-dur)
- Partie 2, Majoration card(G) ≤ 3^{n²} via réduction modulo m (Q1-Q2 · moyen-dur)
- Partie 3, Traces des éléments d'un p-sous-groupe : Tr(g) ∈ {n − pv | 0 ≤ v ≤ ⌊n/(p-1)⌋} (Q1-Q10 · dur)
- Partie 4, Cardinaux des p-sous-groupes : card(G) ≤ 4^n (Q1-Q6 · tres-dur)
Conseils du jury
Pièges sanctionnés par le rapport
- Confondre GL_n(ℤ) avec GL_n(ℂ) ∩ M_n(ℤ) (matrices à coefficients entiers inversibles) : « pour beaucoup de candidats, GL_n(ℤ) (i.e. l'ensemble des matrices inversibles à coefficients dans ℤ dont l'inverse est aussi à coefficients entiers) était identifié avec GL_n(ℂ) ∩ M_n(ℤ) (i.e. l'ensemble des matrices inversibles dont les coefficients sont entiers) ce qui amenait ... »
- Ne pas justifier que l'ordre d'une matrice diagonalisable s'interprète comme ordre des valeurs propres : « un certain nombre de copies n'ont jamais justifié/expliqué clairement que l'ordre d'une matrice pouvait s'interpréter en termes d'ordre des valeurs propres une fois qu'on les savait diagonalisables. Il s'agissait d'un point important qui revenait sous une forme plus ou moins expl... »
- Référence vague type « d'après les résultats précédents » ou « d'après les résultats de la partie 1 » : « Le jury tient d'ailleurs à préciser que l'utilisation de résultats de questions antérieures nécessite de faire une référence précise à la fois à la question et au résultat utilisé. Une formulation vague du type "d'après les résultats précédents" ou encore "d'après les résultats d... »
- Affirmer que M − M' est diagonalisable parce que M et M' le sont (Partie 2 Q1a) : « Attention néanmoins à la rédaction du caratère diagonalisable. Dans beaucoup de copies, la façon de rédiger laissait entendre que si M et M' sont diagonalisables alors M − M' est diagonalisable ce qui est complètement faux. »
- Définir f∘f = f sur le sous-espace vectoriel introduit (Partie 4 Q1a) au lieu de l'espace entier : « Pour justifier que l'on avait un projecteur, il était nécessaire de prouver l'égalité f ∘ f = f. Certains candidats ont vérifié cette égalité sur le sous-espace vectoriel introduit dans la question, ce qui est bien sûr insuffisant. La partie concernant l'image a été négligée par ... »
Ressources
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