Espaces préhilbertiens vs hilbertiens : quelle différence ?

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Il devient hilbertien quand il est complet pour la norme induite (toute suite de Cauchy converge). En prépa, on travaille surtout en préhilbertien.

Espaces préhilbertiens — cours complet MP/PC/PSI

Le chapitre qui généralise le produit scalaire à la dimension infinie. Inégalité de Cauchy-Schwarz, procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale : la boîte à outils de l'analyse hilbertienne.

📘 Pourquoi les espaces préhilbertiens ?

Les espaces préhilbertiens généralisent le produit scalaire connu en dimension finie ( $\mathbb{R}^3$ ) à des espaces plus abstraits (fonctions, suites, polynômes). Ils sont au cœur des séries de Fourier, de la mécanique quantique, et des moindres carrés.

🎯 Produit scalaire

Définition

Un produit scalaire sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ est une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ qui est :

bilinéaire : linéaire en chaque argument
symétrique : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$
définie positive : $\langle x, x \rangle \geq 0$ , avec égalité $\iff x = 0$

La norme associée est $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .

Exemples canoniques : sur $\mathbb{R}^n$ , $\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i$ . Sur $\mathcal{C}([0,1])$ , $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt$ .

⭐ Inégalité de Cauchy-Schwarz

Cauchy-Schwarz

Pour tout $x, y \in E$ :

$|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$

Égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Cette inégalité est la plus utilisée du chapitre. Applications : majoration d'intégrales, inégalité triangulaire, Hölder.

Cauchy-Schwarz appliqué

Montrer que pour $f, g \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ :

$\left(\int_0^1 f(t) g(t) \, dt\right)^2 \leq \int_0^1 f(t)^2 dt \cdot \int_0^1 g(t)^2 dt$

Application directe de Cauchy-Schwarz avec le produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_0^1 fg$ , en élevant au carré la conclusion.

🔨 Procédé de Gram-Schmidt

Gram-Schmidt

Soit $(e_1, \ldots, e_n)$ une famille libre. Il existe une unique famille orthonormale $(u_1, \ldots, u_n)$ telle que pour tout $k \leq n$ , $\mathrm{Vect}(u_1, \ldots, u_k) = \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k)$ .

Formule récursive : $u_1 = \frac{e_1}{\|e_1\|}, \quad u_{k+1} = \frac{v_{k+1}}{\|v_{k+1}\|} \text{ où } v_{k+1} = e_{k+1} - \sum_{i=1}^{k} \langle e_{k+1}, u_i \rangle u_i$

Gram-Schmidt est l'algorithme pour construire une base orthonormale. Utilisé partout : moindres carrés, QR, projections.

📐 Projection orthogonale

Théorème de projection

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ . Pour tout $x \in E$ , il existe un unique $p_F(x) \in F$ tel que $x - p_F(x) \in F^\perp$ .

$p_F(x)$ est la projection orthogonale de $x$ sur $F$ , et minimise $\|x - y\|$ pour $y \in F$ .

La projection orthogonale est au cœur des moindres carrés, des séries de Fourier tronquées, et de la régression linéaire en statistiques.

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📘 Pourquoi les espaces préhilbertiens ?

🎯 Produit scalaire

⭐ Inégalité de Cauchy-Schwarz

Cauchy-Schwarz appliqué

🔨 Procédé de Gram-Schmidt

📐 Projection orthogonale

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