Quels sont les critères de convergence à connaître absolument ?

Critère de Cauchy, critère de comparaison, critère d'équivalence, critère de d'Alembert, critère de Cauchy (ou racine), critère des séries alternées (Leibniz). Ces 6 critères couvrent ~95% des exercices.

Séries numériques — cours complet MP/PC/PSI

Le chapitre qui étend les suites aux sommes infinies. Critères de convergence, séries de référence, convergence absolue : la base pour les séries de fonctions et les séries entières.

📘 Définition et convergence

Série numérique

Soit $(u_n)$ une suite de réels ou complexes. La série $\sum u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ .

La série converge si $(S_n)$ converge. Sa somme est alors $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim S_n$ .

📊 Séries de référence

Série géométrique $\sum q^n$ : converge $\iff |q| < 1$ , somme $= \frac{1}{1-q}$
Série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ : converge $\iff \alpha > 1$
Série harmonique alternée $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ : converge (Leibniz) mais pas absolument
Série exponentielle $\sum \frac{x^n}{n!}$ : converge pour tout $x$ , somme $= e^x$

🎯 Critères de convergence

Critère de d'Alembert

Si $u_n > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell$ :

Si $\ell < 1$ : $\sum u_n$ converge
Si $\ell > 1$ : $\sum u_n$ diverge
Si $\ell = 1$ : indéterminé, changer de méthode

Critère des séries alternées (Leibniz)

Si $(u_n)$ est une suite positive, décroissante, tendant vers 0, alors $\sum (-1)^n u_n$ converge.

Série de type exponentielle

Étudier la convergence de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n}$ .

Critère de d'Alembert : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2}{3 n^2} \to \frac{1}{3} < 1$ . Donc $\sum u_n$ converge.

🔒 Convergence absolue

Une série $\sum u_n$ est absolument convergente si $\sum |u_n|$ converge. Toute série absolument convergente est convergente (la réciproque est fausse : voir $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ ).

Aux concours, prouve toujours la convergence absolue en premier. C'est plus simple (signes positifs) et ça suffit dans 80% des cas.

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📘 Définition et convergence

📊 Séries de référence

🎯 Critères de convergence

Série de type exponentielle

🔒 Convergence absolue

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Questions fréquentes

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