Calcul intégral : primitives, aire et exercices corrigés

Le calcul intégral repose sur une idée double qui déroute au début : d'un côté, chercher une primitive, c'est-à-dire remonter la dérivation à l'envers ; de l'autre, mesurer une aire sous une courbe. Ces deux problèmes, qui semblent n'avoir aucun rapport, sont en réalité le même. C'est tout le miracle du théorème fondamental de l'analyse.

Cet article te donne les fondations propres du chapitre : ce qu'est une primitive et le tableau des primitives usuelles, le lien intégrale = aire, la démonstration du théorème fondamental attendue au bac, les propriétés (linéarité, Chasles, positivité), la valeur moyenne, les erreurs qui coûtent des points, et 4 exercices corrigés de niveau croissant. Pour les techniques de calcul plus avancées, tu iras ensuite voir l'intégration par parties et le changement de variable.

Primitive : l'inverse de la dérivation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que, pour tout $x \in I$ :

Dériver, c'est descendre ; primitiver, c'est remonter. Si tu sais que la dérivée de $x^3$ est $3x^2$, alors une primitive de $3x^2$ est $x^3$. Point de vigilance immédiat : une fonction n'a pas une primitive, mais une infinité. En effet, si $F' = f$, alors $(F + C)' = f$ pour toute constante $C$, puisque la dérivée d'une constante est nulle.

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, c'est une garantie théorique. Voici le tableau des primitives usuelles à connaître par cœur (avec $C \in \mathbb{R}$) :

À ce tableau s'ajoutent trois formes composées qui reviennent partout et qu'il faut savoir reconnaître à l'œil : $u'\,e^{u}$ a pour primitive $e^{u}$ ; $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln|u|$ ; et $u'\,u^{n}$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$. Repérer un facteur $u'$ devant une fonction de $u$ est le réflexe qui débloque la moitié des intégrales de Terminale.

Intégrale et aire sous la courbe

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$. L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, notée $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$, est définie comme l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations $x = a$ et $x = b$. Cette aire est exprimée en unités d'aire (l'unité étant le rectangle bâti sur les deux vecteurs du repère).

Reste à la calculer. C'est là qu'intervient le théorème fondamental de l'analyse, qui fait le pont entre l'aire et les primitives : si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a, b]$, alors

La notation crochet $[F(x)]_a^b$ signifie exactement $F(b) - F(a)$. Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : si tu remplaces $F$ par $F + C$, la constante $C$ s'annule dans la différence $\bigl(F(b)+C\bigr) - \bigl(F(a)+C\bigr)$. C'est pourquoi on ne met jamais de $+\,C$ dans un calcul d'intégrale définie.

Démonstration · le théorème fondamental

Voici la démonstration attendue au bac : on montre que la fonction « aire » est une primitive de $f$. On la fait dans le cas où $f$ est continue et croissante sur $I$ (cas classique du programme) ; le principe s'étend au cas continu général.

Cadre. $f$ est continue et croissante sur $I$, $a \in I$. On pose, pour $x \in I$, la fonction aire :

On veut prouver que $F$ est dérivable sur $I$ avec $F'(x) = f(x)$.

Étape 1, Le taux d'accroissement. Prenons $h > 0$ tel que $x + h \in I$. Par la relation de Chasles :

Étape 2, Encadrement par croissance. Pour $t \in [x, x+h]$, comme $f$ est croissante, $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$. En intégrant cet encadrement sur $[x, x+h]$, dont la longueur est $h$ :

Étape 3, On divise par $h > 0$. Le taux d'accroissement est encadré :

Étape 4, Passage à la limite. Quand $h \to 0^{+}$, la continuité de $f$ donne $f(x+h) \to f(x)$. Par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f(x)$. Le même raisonnement pour $h < 0$ conduit à la même limite. Donc $F$ est dérivable en $x$ et :

Ainsi $F$ est une primitive de $f$, celle qui s'annule en $a$ (car $F(a) = \int_a^a f = 0$). Comme deux primitives diffèrent d'une constante, toute primitive $G$ vérifie $G(x) = F(x) + C$, et l'on retrouve

Les propriétés de l'intégrale

Ces propriétés se démontrent toutes à partir des primitives, mais surtout : elles te permettent de calculer sans primitive explicite dans beaucoup d'exercices. Les connaître par cœur est indispensable.

1. Linéarité

Pour deux fonctions continues $f, g$ et deux réels $\alpha, \beta$ :

Concrètement : les constantes sortent de l'intégrale, et l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales. C'est ce qui permet d'intégrer un polynôme terme à terme.

2. Relation de Chasles

Pour $a, b, c$ dans l'intervalle de continuité de $f$ :

On découpe l'intervalle. C'est l'outil pour les fonctions définies par morceaux et pour calculer une aire quand $f$ change de signe. Cas particuliers utiles : $\int_a^a f = 0$ et $\int_b^a f = -\int_a^b f$ (inverser les bornes change le signe).

3. Positivité et croissance

Si $a \leq b$ et $f \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0$. On en déduit la croissance de l'intégrale : si $f \leq g$ sur $[a, b]$ (avec $a \leq b$), alors

La valeur moyenne d'une fonction

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a < b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est le nombre :

L'interprétation est géométrique et lumineuse : $m$ est la hauteur du rectangle de base $[a, b]$ qui a exactement la même aire que le domaine sous la courbe. Autrement dit, si tu « rabotes les bosses pour combler les creux » de la courbe, tu obtiens un rectangle plat de hauteur $m$. C'est la hauteur moyenne de $f$ sur l'intervalle.

5 erreurs classiques à éviter

Le calcul intégral est un chapitre où l'on perd des points bêtement. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes fautes copie après copie. En voici cinq à éliminer tout de suite.

1. Oublier le $+\,C$ dans une primitive. Une primitive n'est jamais unique. Dans un calcul de primitive, le $+\,C$ est obligatoire ; dans une intégrale définie, au contraire, on ne le met pas (il s'annule). Confondre les deux situations coûte cher.
2. Confondre aire et intégrale quand $f$ change de signe. L'intégrale est une aire algébrique : elle compte négativement les parties sous l'axe. Pour une aire géométrique, on découpe avec Chasles et on intègre $|f|$.
3. Se tromper de signe avec $-\cos$. Une primitive de $\sin$ est $-\cos$, une primitive de $\cos$ est $+\sin$. L'asymétrie de signe piège tout le monde. Le contrôle : dérive ta primitive, tu dois retomber sur $f$.
4. Appliquer une inégalité d'intégrales sans vérifier $a \leq b$. Positivité et croissance ne valent que si les bornes sont dans le bon ordre. Bornes inversées : le signe change.
5. Oublier de vérifier les hypothèses de la formule composée. Écrire « primitive de $u'/u$ = $\ln|u|$ » n'a de sens que là où $u$ ne s'annule pas. Vérifie le signe de $u$ sur l'intervalle avant d'appliquer la formule.

4 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, Calcul direct · Terminale

Énoncé. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1)\,\mathrm{d}x$.

Solution. Par linéarité, on intègre terme à terme. Une primitive de $3x^2 + 2x + 1$ est $x^3 + x^2 + x$. Donc :

Exercice 2, Aire sous une courbe · Terminale

Énoncé. Soit $f(x) = 4 - x^2$. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[-2, 2]$.

Solution. Sur $[-2, 2]$, on a $f(x) = 4 - x^2 \geq 0$ (car $x^2 \leq 4$), donc l'aire cherchée est directement l'intégrale. Une primitive de $4 - x^2$ est $4x - \dfrac{x^3}{3}$ :

L'aire vaut $\dfrac{32}{3}$ unités d'aire, soit environ $10{,}67$.

Exercice 3, Forme composée · Terminale

Énoncé. Calculer $J = \displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$.

Solution. On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$. Comme $u(x) = x^2 + 1 > 0$ sur $[0, 1]$, une primitive est $\ln(x^2 + 1)$ (pas besoin de valeur absolue ici) :

Numériquement, $J \approx 0{,}693$.

Exercice 4, Valeur moyenne · Terminale spé / prépa

Énoncé. Déterminer la valeur moyenne de $f(x) = \sin(x)$ sur $[0, \pi]$.

Solution. Par définition, avec $a = 0$ et $b = \pi$ :

On calcule le crochet : $-\cos(\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$. Donc :

Ce résultat $\dfrac{2}{\pi}$ est un grand classique : c'est la « hauteur moyenne » d'une arche de sinus. Pour aller plus loin, l'intégration par parties et le changement de variable te donneront les outils pour intégrer des produits et des fonctions composées bien plus tordues, celles que tu croiseras aux concours.

Ce qu'il faut retenir

• Primitive : $F$ telle que $F' = f$. Deux primitives diffèrent d'une constante, d'où le $+\,C$ (obligatoire en primitive, interdit en intégrale définie).
• Intégrale = aire : pour $f$ continue et positive, $\int_a^b f$ est l'aire sous la courbe ; sinon, aire algébrique (signée).
• Théorème fondamental : la fonction aire $x \mapsto \int_a^x f$ est une primitive de $f$ ; d'où $\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
• Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité et croissance (valides pour $a \leq b$).
• Valeur moyenne : $m = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$, la hauteur du rectangle de même aire.
• Réflexe : vérifie une primitive en la dérivant. 10 secondes qui sauvent des points.

Le calcul intégral est un socle : il structure une bonne partie de l'analyse de Terminale et se prolonge en prépa avec les intégrales impropres, les intégrales à paramètre et les séries. Bien poser primitives, aires et propriétés maintenant, c'est s'épargner des heures de blocage plus tard. Le chapitre est détaillé dans notre panorama du programme de spé maths et physique en Terminale, et il s'appuie directement sur la dérivation, dont il est l'opération inverse.