Changement de variable en intégrale : méthode et exercices

Le changement de variable est la technique qui transforme une intégrale illisible en une intégrale connue. Le principe tient en une phrase : tu remplaces la variable $x$ par une nouvelle variable $t = u(x)$, et l'intégrale se replie sur une primitive évidente. C'est la réciproque de la dérivée d'une composée, lue de droite à gauche.

Un mot d'honnêteté d'emblée : en Terminale, le changement de variable général n'est pas au programme. On y apprend à reconnaître des formes $u'(x)\,f\bigl(u(x)\bigr)$ (comme $u'\,e^{u}$ ou $u'/u$), ce qui est déjà la moitié du chemin. Le changement de variable formel, où l'on pose $t = u(x)$ avec $u$ de classe $\mathcal{C}^1$, arrive en prépa (MPSI, PCSI, BCPST, MP2I). Cet article couvre les deux niveaux : la formule et son intuition, la démonstration, la méthode pour poser $u$, la gestion des bornes (l'erreur qui coûte le plus de points), la différence avec l'intégration par parties, et 4 exercices corrigés du bac à la prépa.

La formule du changement de variable

Soit $u$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $[a, b]$ (c'est-à-dire dérivable, de dérivée continue), et soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant l'image $u\bigl([a, b]\bigr)$. Alors :

On lit la formule comme une substitution : on pose $t = u(x)$, ce qui « avale » la fonction intérieure et le facteur $u'(x)$ d'un seul coup. En notation différentielle, l'idée mnémotechnique est $t = u(x)$ donc $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$ : le morceau $u'(x)\,\mathrm{d}x$ à gauche devient $\mathrm{d}t$ à droite.

Remarque de vocabulaire : la notation $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$ est un procédé de calcul commode, pas un objet manipulé pour lui-même au lycée. La justification rigoureuse passe par la démonstration ci-dessous, qui n'utilise que des outils standards.

Démonstration · la dérivée d'une composée

La démonstration repose sur deux briques : la dérivée d'une fonction composée et le théorème fondamental de l'analyse. C'est exactement pour cela qu'on la voit en MPSI/PCSI au chapitre intégration : elle vérifie que tu relies dérivation et intégration.

Hypothèses. $u$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$, et $f$ est continue sur un intervalle contenant $u\bigl([a, b]\bigr)$. Comme $f$ est continue, elle admet une primitive $F$ sur cet intervalle.

Étape 1, Dérivée de la composée. Considérons la fonction $x \mapsto F\bigl(u(x)\bigr)$. Elle est dérivable sur $[a, b]$ (composée de fonctions dérivables) et, par la règle de dérivation d'une composée :

Étape 2, La composée est une primitive. L'égalité précédente dit exactement que $F \circ u$ est une primitive de $x \mapsto f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)$ sur $[a, b]$. Par le théorème fondamental de l'analyse :

Étape 3, On relit à droite. Or $F$ est une primitive de $f$, donc par le même théorème :

Conclusion. Les deux membres valent la même différence $F(u(b)) - F(u(a))$, donc ils sont égaux :

Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, insistent : à l'oral de prépa, on te demande souvent de redémontrer ce résultat à partir de la dérivée d'une composée. C'est un grand classique de khôlle qui ne prend qu'une minute quand on l'a compris.

La méthode : repérer le motif u'·f(u)

Tout se joue au diagnostic : sais-tu voir, dans l'intégrande, une fonction composée $f\bigl(u(x)\bigr)$ multipliée par la dérivée $u'(x)$ de sa variable intérieure ? Si oui, tu poses $t = u(x)$ et l'intégrale se simplifie d'un coup.

En pratique, la procédure tient en 4 gestes :

1. Repérer $u(x)$ et vérifier que $u'(x)$ est présent (à un facteur constant près).
2. Poser $t = u(x)$, donc $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$.
3. Transformer les bornes : $x = a$ donne $t = u(a)$, $x = b$ donne $t = u(b)$.
4. Réécrire toute l'intégrale en $t$ (plus aucun $x$ ne doit subsister) et calculer.

Au niveau Terminale, on n'écrit pas forcément « je pose $t = u(x)$ » : on reconnaît directement la forme et on écrit la primitive. Par exemple, dès qu'on voit $u'\,e^{u}$, on sait que la primitive est $e^{u}$. C'est la même mécanique, juste sans la notation de substitution.

Changer les bornes : l'étape qu'on oublie

Pour une intégrale définie, dès que tu changes de variable, tu changes de bornes. C'est non négociable, et c'est l'erreur qu'on retrouve le plus souvent sur les copies.

Prenons $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$. On pose $t = x^2$, donc $\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x$. Les bornes se transforment : $x = 0 \Rightarrow t = 0$ et $x = 1 \Rightarrow t = 1$ (ici elles ne bougent pas par coïncidence, mais il faut le vérifier). L'intégrale devient :

Deux stratégies coexistent, choisis-en une et tiens-t'y :

Les cas-types à reconnaître au premier coup d'œil

Trois formes reviennent sans arrêt, dès la Terminale. Elles se déduisent toutes de la dérivée d'une composée : apprends-les comme des réflexes, tu gagneras un temps fou.

Chacune s'obtient par la même substitution $t = u(x)$, $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$. Par exemple $\int u'\,u^{n}\,\mathrm{d}x = \int t^{n}\,\mathrm{d}t = \frac{t^{n+1}}{n+1} = \frac{u^{n+1}}{n+1}$. Le cas $n = -1$ est exclu du dernier car il donne précisément le deuxième (le logarithme).

La substitution trigonométrique · niveau prépa

En prépa, on rencontre un cran plus haut : la substitution où l'on remplace $x$ par une fonction trigonométrique pour faire apparaître une identité. L'exemple canonique est $\int \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x$, où l'on pose $x = \sin(t)$. Alors $\mathrm{d}x = \cos(t)\,\mathrm{d}t$ et $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \lvert\cos(t)\rvert$, ce qui linéarise l'intégrale. On la détaille dans l'exercice 4.

Changement de variable ou intégration par parties ?

Ce sont les deux grandes techniques d'intégration, et on hésite souvent entre elles. Le critère de choix est en réalité limpide : il dépend de la structure de l'intégrande.

Un même exercice peut d'ailleurs enchaîner les deux : un changement de variable pour nettoyer, puis une IPP pour finir. Pour la mécanique complète de l'IPP (méthode de choix, cas circulaire, méthode tabulaire), va voir notre article dédié sur l'intégration par parties.

5 erreurs classiques à éviter

Les mêmes fautes reviennent sur les copies de DS et de khôlle. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X, CentraleSupélec et Mines Paris, les traquent dès les premières semaines de Sup.

1. Oublier de changer les bornes. L'erreur reine. Dès que tu poses $t = u(x)$ dans une intégrale définie, les bornes deviennent $u(a)$ et $u(b)$. Garder $0$ et $1$ « parce que c'était ça au départ » fausse tout le résultat.
2. Oublier le facteur $u'(x)$. La formule exige la présence de $u'(x)\,\mathrm{d}x$. Si tu écris $\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}$ parce que « ça ressemble à $e^{u}$ », c'est faux : il manque le $2x$. Sans $u'$, pas de substitution simple (et $\int e^{x^2}\mathrm{d}x$ n'a d'ailleurs pas de primitive élémentaire).
3. Laisser des $x$ après substitution. Une intégrale en $t$ ne doit plus contenir aucun $x$. S'il en reste un que tu ne peux pas exprimer avec $t$, ton choix de $u$ est mauvais : recommence avec un autre.
4. Se tromper de constante. Quand $u'$ apparaît à un facteur près (par exemple $x$ au lieu de $2x$ pour $u = x^2$), il faut ajuster : $x\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{d}t$. Oublier ce $\tfrac{1}{2}$ donne un résultat au double de la vraie valeur.
5. Oublier la valeur absolue dans $\ln\lvert u\rvert$. La primitive de $u'/u$ est $\ln\lvert u\rvert$, pas $\ln(u)$. Sur un intervalle où $u$ est négative, oublier les barres rend l'expression non définie et coûte des points.

4 exercices corrigés · Terminale → MPSI

Exercice 1, Reconnaissance de forme · niveau Terminale

Énoncé. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$.

Solution. On reconnaît la forme $u'\,e^{u}$ avec $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. Une primitive est $e^{x^2}$. Directement :

On peut détailler la substitution $t = x^2$, $\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x$, bornes $t : 0 \to 1$, d'où $I = \int_0^1 e^{t}\,\mathrm{d}t = e - 1$. Même résultat, même mécanique.

Exercice 2, Forme u'/u · niveau Terminale

Énoncé. Calculer $J = \displaystyle\int_0^1 \frac{x}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x$.

Solution. On pose $u(x) = 1 + x^2$, donc $u'(x) = 2x$. Le numérateur $x$ vaut $\tfrac{1}{2}u'(x)$ : on ajuste la constante. Ainsi $\dfrac{x}{1+x^2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est $\dfrac{1}{2}\ln\lvert u\rvert = \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)$ (positif ici). Donc :

Le facteur $\tfrac{1}{2}$ vient de l'ajustement de la constante : l'oublier donnerait le double de la vraie valeur.

Exercice 3, Substitution formelle avec bornes · niveau prépa

Énoncé. Calculer $K = \displaystyle\int_0^1 \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}\,\mathrm{d}x$.

Solution. On pose $t = 1 + e^{x}$, donc $\mathrm{d}t = e^{x}\,\mathrm{d}x$ : le numérateur est exactement $\mathrm{d}t$. Bornes : $x = 0 \Rightarrow t = 1 + e^{0} = 2$ ; $x = 1 \Rightarrow t = 1 + e$. L'intégrale se réécrit intégralement en $t$ :

Ici $t = 1 + e^{x} > 0$, donc $\ln\lvert t\rvert = \ln t$ sans souci. Remarque que la forme de départ était déjà $u'/u$ avec $u = 1 + e^{x}$ : on retrouve $K = \bigl[\ln(1 + e^{x})\bigr]_0^1$, cohérent.

Exercice 4, Substitution trigonométrique · niveau MPSI / PCSI

Énoncé. Calculer $L = \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ (aire du quart de disque unité).

Solution. On pose $x = \sin(t)$ avec $t \in \bigl[0, \tfrac{\pi}{2}\bigr]$ ; $\sin$ y est de classe $\mathcal{C}^1$ et bijective. Alors $\mathrm{d}x = \cos(t)\,\mathrm{d}t$. Bornes : $x = 0 \Rightarrow t = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow t = \tfrac{\pi}{2}$. Sur cet intervalle $\cos(t) \geq 0$, donc $\sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos(t)$. D'où :

On linéarise avec $\cos^2(t) = \dfrac{1 + \cos(2t)}{2}$ :

On retrouve bien l'aire du quart du disque de rayon 1, égale à $\tfrac{\pi}{4}$. Ce type de substitution est un grand classique du programme d'analyse de MPSI/PCSI, souvent croisé aux oraux ; on le replace dans l'ensemble du chapitre dans notre guide du programme de maths en MPSI.

Ce qu'il faut retenir

• La formule $\int_a^b f(u(x))\,u'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,\mathrm{d}t$, sous hypothèse $u$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $f$ continue.
• La démonstration : dérivée d'une composée ($F \circ u)' = f(u)\,u'$, puis théorème fondamental. Elle explique d'où viennent les nouvelles bornes.
• La méthode : repérer $u$ dont la dérivée $u'$ est présente, poser $t = u(x)$, changer les bornes, tout réécrire en $t$.
• Les cas-types : $u'\,e^{u} \to e^{u}$, $u'/u \to \ln\lvert u\rvert$, $u'\,u^{n} \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$, plus la substitution trigonométrique en prépa.
• Les pièges : bornes non changées, facteur $u'$ oublié, $x$ résiduels, constante mal ajustée, valeur absolue du $\ln$ oubliée.
• Le statut programme : reconnaissance de formes au bac, changement de variable formel en prépa (MPSI, PCSI, BCPST, MP2I).

Le changement de variable et l'intégration par parties sont les deux piliers du calcul intégral avancé : maîtriser le premier en Terminale, sous forme de reconnaissance, c'est arriver en Sup avec une longueur d'avance. Pour situer ce chapitre dans le reste du programme, notre tier list des chapitres de maths spé et le programme de spécialité maths de Terminale te donnent la carte complète.