Le changement de variable est-il au programme de Terminale ?

Pas en tant que technique générale. Le programme de spécialité maths de Terminale attend l'intégration par parties et la reconnaissance de formes du type (v'∘u)×u' (par exemple u'eᵘ, u'/u ou u'uⁿ), qui viennent directement de la dérivée d'une composée. Le changement de variable proprement dit, où l'on pose t = u(x) avec u de classe C¹, est au programme des classes préparatoires scientifiques (MPSI, PCSI, BCPST, MP2I). L'idée est donc préparée au bac, mais formalisée en prépa.

Changement de variable ou intégration par parties : comment choisir ?

Regarde la structure de l'intégrande. Si tu reconnais un motif u'(x)·f(u(x)), c'est-à-dire une fonction composée multipliée par la dérivée de sa variable intérieure, le changement de variable est la bonne piste. Si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (polynôme × exponentielle, logarithme × polynôme), c'est l'intégration par parties qui débloque le calcul. Les deux techniques se complètent, un même chapitre les mobilise souvent l'une après l'autre.

Faut-il changer les bornes dans un changement de variable ?

Oui, pour une intégrale définie. Si tu poses t = u(x), la borne inférieure a devient u(a) et la borne supérieure b devient u(b) : tu intègres alors en t entre ces deux nouvelles valeurs. C'est l'erreur numéro un des copies : garder les anciennes bornes après le changement. L'alternative, si tu cherches une primitive, est de tout calculer en t puis de revenir à la variable x avant d'évaluer aux bornes d'origine.

Comment choisir le bon changement de variable ?

Cherche dans l'intégrande une fonction intérieure u(x) dont la dérivée u'(x) apparaît aussi, à un facteur constant près. Tu poses alors t = u(x) et dt = u'(x)dx. Les cas les plus courants : t = expression sous une exponentielle, sous un logarithme, sous une racine ou au dénominateur. Si après substitution il reste des x isolés impossibles à exprimer en t, c'est que le changement choisi n'est pas le bon.

C'est quoi le changement de variable dans une intégrale ?

C'est une technique qui transforme une intégrale difficile en une intégrale connue, en remplaçant la variable x par une nouvelle variable t = u(x). On remplace simultanément dx par dt/u'(x) (ou u'(x)dx par dt) et, pour une intégrale définie, on remplace les bornes. Le calcul repose sur la formule de dérivation d'une fonction composée lue à l'envers : c'est la réciproque de la règle de la chaîne appliquée à l'intégration.

Changement de variable en intégrale : méthode et exercices

Le changement de variable est la technique qui transforme une intégrale illisible en une intégrale connue. Le principe tient en une phrase : tu remplaces la variable $x$ par une nouvelle variable $t = u(x)$ , et l'intégrale se replie sur une primitive évidente. C'est la réciproque de la dérivée d'une composée, lue de droite à gauche.

Un mot d'honnêteté d'emblée : en Terminale, le changement de variable général n'est pas au programme. On y apprend à reconnaître des formes $u'(x)\,f\bigl(u(x)\bigr)$ (comme $u'\,e^{u}$ ou $u'/u$ ), ce qui est déjà la moitié du chemin. Le changement de variable formel, où l'on pose $t = u(x)$ avec $u$ de classe $\mathcal{C}^1$ , arrive en prépa (MPSI, PCSI, BCPST, MP2I).

La formule du changement de variable

Soit $u$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $[a, b]$ (c'est-à-dire dérivable, de dérivée continue), et soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant l'image $u\bigl([a, b]\bigr)$ . Alors :

\int_a^b f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,\mathrm{d}t.

On lit la formule comme une substitution : on pose $t = u(x)$ , ce qui « avale » la fonction intérieure et le facteur $u'(x)$ d'un seul coup. En notation différentielle, l'idée mnémotechnique est $t = u(x)$ donc $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$ : le morceau $u'(x)\,\mathrm{d}x$ à gauche devient $\mathrm{d}t$ à droite.

L'idée à retenir. Le changement de variable ne « marche » que si la dérivée $u'(x)$ de la fonction intérieure $u$ est présente dans l'intégrande, au moins à un facteur constant près. Tu cherches donc dans l'expression un motif « fonction composée $\times$ dérivée de l'intérieur ». Si $u'$ n'y est pas et ne peut pas y être fabriqué proprement, ce n'est pas le bon $u$ .

Remarque de vocabulaire : la notation $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$ est un procédé de calcul commode, pas un objet manipulé pour lui-même au lycée. La justification rigoureuse passe par la démonstration ci-dessous, qui n'utilise que des outils standards.

Démonstration · la dérivée d'une composée

La démonstration repose sur deux briques : la dérivée d'une fonction composée et le théorème fondamental de l'analyse. C'est exactement pour cela qu'on la voit en MPSI/PCSI au chapitre intégration : elle vérifie que tu relies dérivation et intégration.

Hypothèses. $u$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ , et $f$ est continue sur un intervalle contenant $u\bigl([a, b]\bigr)$ . Comme $f$ est continue, elle admet une primitive $F$ sur cet intervalle.

Étape 1, Dérivée de la composée. Considérons la fonction $x \mapsto F\bigl(u(x)\bigr)$ . Elle est dérivable sur $[a, b]$ (composée de fonctions dérivables) et, par la règle de dérivation d'une composée :

\bigl(F \circ u\bigr)'(x) \;=\; F'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) \;=\; f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Étape 2, La composée est une primitive. L'égalité précédente dit exactement que $F \circ u$ est une primitive de $x \mapsto f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)$ sur $[a, b]$ . Par le théorème fondamental de l'analyse :

\int_a^b f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \Bigl[F\bigl(u(x)\bigr)\Bigr]_a^b \;=\; F\bigl(u(b)\bigr) - F\bigl(u(a)\bigr).

Étape 3, On relit à droite. Or $F$ est une primitive de $f$ , donc par le même théorème :

\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \bigl[F(t)\bigr]_{u(a)}^{u(b)} \;=\; F\bigl(u(b)\bigr) - F\bigl(u(a)\bigr).

Conclusion. Les deux membres valent la même différence $F(u(b)) - F(u(a))$ , donc ils sont égaux :

\int_a^b f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,\mathrm{d}t. \quad\blacksquare

Lecture pédagogique. La démonstration révèle d'où viennent les nouvelles bornes. Elles ne sortent pas d'un chapeau : quand $x$ parcourt $[a, b]$ , la variable $t = u(x)$ parcourt $[u(a), u(b)]$ . Changer les bornes, ce n'est pas une règle arbitraire à mémoriser, c'est la traduction du changement de variable sur l'intervalle d'intégration. Retiens la démonstration, tu ne te tromperas plus jamais de bornes.

Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, insistent : à l'oral de prépa, on te demande souvent de redémontrer ce résultat à partir de la dérivée d'une composée. C'est un grand classique de khôlle qui ne prend qu'une minute quand on l'a compris.

La méthode : repérer le motif u'·f(u)

Tout se joue au diagnostic : sais-tu voir, dans l'intégrande, une fonction composée $f\bigl(u(x)\bigr)$ multipliée par la dérivée $u'(x)$ de sa variable intérieure ? Si oui, tu poses $t = u(x)$ et l'intégrale se simplifie d'un coup.

Règle d'or. Choisis comme $u$ l'expression intérieure (sous l'exponentielle, sous le logarithme, sous la racine, au dénominateur…) dont la dérivée $u'$ figure déjà dans l'intégrande, quitte à ajuster une constante. Puis pose $t = u(x)$ , remplace $u'(x)\,\mathrm{d}x$ par $\mathrm{d}t$ , et change les bornes.

En pratique, la procédure tient en 4 gestes :

Repérer $u(x)$ et vérifier que $u'(x)$ est présent (à un facteur constant près).
Poser $t = u(x)$ , donc $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$ .
Transformer les bornes : $x = a$ donne $t = u(a)$ , $x = b$ donne $t = u(b)$ .
Réécrire toute l'intégrale en $t$ (plus aucun $x$ ne doit subsister) et calculer.

Au niveau Terminale, on n'écrit pas forcément « je pose $t = u(x)$ » : on reconnaît directement la forme et on écrit la primitive. Par exemple, dès qu'on voit $u'\,e^{u}$ , on sait que la primitive est $e^{u}$ . C'est la même mécanique, juste sans la notation de substitution.

Astuce de prof. Le test qui ne trompe pas : après avoir posé $t = u(x)$ , réécris entièrement l'intégrale en $t$ . S'il reste ne serait-ce qu'un $x$ isolé impossible à exprimer avec $t$ , ton choix de $u$ est mauvais, change-le. Une bonne substitution fait disparaître tous les $x$ .

Changer les bornes : l'étape qu'on oublie

Pour une intégrale définie, dès que tu changes de variable, tu changes de bornes. C'est non négociable, et c'est l'erreur qu'on retrouve le plus souvent sur les copies.

Prenons $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ . On pose $t = x^2$ , donc $\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x$ . Les bornes se transforment : $x = 0 \Rightarrow t = 0$ et $x = 1 \Rightarrow t = 1$ (ici elles ne bougent pas par coïncidence, mais il faut le vérifier). L'intégrale devient :

\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x \;=\; \int_0^1 e^{t}\,\mathrm{d}t \;=\; \bigl[e^{t}\bigr]_0^1 \;=\; e - 1.

Deux stratégies coexistent, choisis-en une et tiens-t'y :

Stratégie	Ce qu'on fait	Risque
Changer les bornes	On remplace $a, b$ par $u(a), u(b)$ et on reste en $t$ jusqu'au bout.	Oublier de transformer une des deux bornes.
Revenir à $x$	On calcule une primitive en $t$ , puis on remplace $t$ par $u(x)$ et on évalue en $a, b$ .	Évaluer la primitive « en $t$ » avec les bornes en $x$ .

Le réflexe à acquérir. Écris toujours explicitement la ligne « $x = a \Rightarrow t = u(a)$ ; $x = b \Rightarrow t = u(b)$ » avant de continuer. Ces deux égalités, posées noir sur blanc, éliminent d'un coup l'erreur la plus punie du chapitre. Un correcteur voit tout de suite si tu as compris le mécanisme.

Les cas-types à reconnaître au premier coup d'œil

Trois formes reviennent sans arrêt, dès la Terminale. Elles se déduisent toutes de la dérivée d'une composée : apprends-les comme des réflexes, tu gagneras un temps fou.

Forme reconnue	Primitive	Substitution sous-jacente
$\displaystyle \int u'\,e^{u}\,\mathrm{d}x$	$e^{u} + C$	$t = u(x)$
$\displaystyle \int \frac{u'}{u}\,\mathrm{d}x$	$\ln\lvert u\rvert + C$	$t = u(x)$
$\displaystyle \int u'\,u^{n}\,\mathrm{d}x$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{u^{\,n+1}}{n+1} + C$	$t = u(x)$

Chacune s'obtient par la même substitution $t = u(x)$ , $\mathrm{d}t = u'(x)\,\mathrm{d}x$ . Par exemple $\int u'\,u^{n}\,\mathrm{d}x = \int t^{n}\,\mathrm{d}t = \frac{t^{n+1}}{n+1} = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ . Le cas $n = -1$ est exclu du dernier car il donne précisément le deuxième (le logarithme).

La substitution trigonométrique · niveau prépa

En prépa, on rencontre un cran plus haut : la substitution où l'on remplace $x$ par une fonction trigonométrique pour faire apparaître une identité. L'exemple canonique est $\int \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ , où l'on pose $x = \sin(t)$ . Alors $\mathrm{d}x = \cos(t)\,\mathrm{d}t$ et $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \lvert\cos(t)\rvert$ , ce qui linéarise l'intégrale. On la détaille dans l'exercice 4.

Sens direct, sens inverse. Il y a deux façons d'utiliser la formule. En Terminale, on va de la gauche vers la droite : on reconnaît $u'\,f(u)$ et on simplifie. En prépa, on ose aussi le sens inverse : on impose $x = \varphi(t)$ (comme $x = \sin t$ ) pour transformer une expression rigide en quelque chose de calculable. C'est la même formule, lue dans les deux sens.

Changement de variable ou intégration par parties ?

Ce sont les deux grandes techniques d'intégration, et on hésite souvent entre elles. Le critère de choix est en réalité limpide : il dépend de la structure de l'intégrande.

Critère	Changement de variable	Intégration par parties
Forme visée	$u'(x)\,f\bigl(u(x)\bigr)$ : une composée $\times$ la dérivée de l'intérieur.	Produit de deux fonctions de natures différentes.
Repose sur	Dérivée d'une composée (règle de la chaîne).	Dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ .
Exemples	$\int \dfrac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ , $\int 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ , $\int \dfrac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$	$\int x\,e^{x}\,\mathrm{d}x$ , $\int \ln x\,\mathrm{d}x$ , $\int x\sin x\,\mathrm{d}x$
Programme	Reconnaissance de formes au bac, technique complète en prépa.	Au programme de Terminale et de prépa.

Un même exercice peut d'ailleurs enchaîner les deux : un changement de variable pour nettoyer, puis une IPP pour finir. Pour la mécanique complète de l'IPP (méthode de choix, cas circulaire, méthode tabulaire), va voir notre article dédié sur l'intégration par parties.

5 erreurs classiques à éviter

Les mêmes fautes reviennent sur les copies de DS et de khôlle. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X, CentraleSupélec et les Mines de Paris, les traquent dès les premières semaines de Sup.

Oublier de changer les bornes. L'erreur reine. Dès que tu poses $t = u(x)$ dans une intégrale définie, les bornes deviennent $u(a)$ et $u(b)$ . Garder $0$ et $1$ « parce que c'était ça au départ » fausse tout le résultat.
Oublier le facteur $u'(x)$ . La formule exige la présence de $u'(x)\,\mathrm{d}x$ . Si tu écris $\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}$ parce que « ça ressemble à $e^{u}$ », c'est faux : il manque le $2x$ . Sans $u'$ , pas de substitution simple (et $\int e^{x^2}\mathrm{d}x$ n'a d'ailleurs pas de primitive élémentaire).
Laisser des $x$ après substitution. Une intégrale en $t$ ne doit plus contenir aucun $x$ . S'il en reste un que tu ne peux pas exprimer avec $t$ , ton choix de $u$ est mauvais : recommence avec un autre.
Se tromper de constante. Quand $u'$ apparaît à un facteur près (par exemple $x$ au lieu de $2x$ pour $u = x^2$ ), il faut ajuster : $x\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{d}t$ . Oublier ce $\tfrac{1}{2}$ donne un résultat au double de la vraie valeur.
Oublier la valeur absolue dans $\ln\lvert u\rvert$ . La primitive de $u'/u$ est $\ln\lvert u\rvert$ , pas $\ln(u)$ . Sur un intervalle où $u$ est négative, oublier les barres rend l'expression non définie et coûte des points.

4 exercices corrigés · Terminale → MPSI

Exercice 1, Reconnaissance de forme · niveau Terminale

Énoncé. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Solution. On reconnaît la forme $u'\,e^{u}$ avec $u(x) = x^2$ , donc $u'(x) = 2x$ . Une primitive est $e^{x^2}$ . Directement :

I \;=\; \bigl[e^{x^2}\bigr]_0^1 \;=\; e^{1} - e^{0} \;=\; e - 1.

On peut détailler la substitution $t = x^2$ , $\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x$ , bornes $t : 0 \to 1$ , d'où $I = \int_0^1 e^{t}\,\mathrm{d}t = e - 1$ . Même résultat, même mécanique.

Exercice 2, Forme u'/u · niveau Terminale

Énoncé. Calculer $J = \displaystyle\int_0^1 \frac{x}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Solution. On pose $u(x) = 1 + x^2$ , donc $u'(x) = 2x$ . Le numérateur $x$ vaut $\tfrac{1}{2}u'(x)$ : on ajuste la constante. Ainsi $\dfrac{x}{1+x^2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u'}{u}$ , dont une primitive est $\dfrac{1}{2}\ln\lvert u\rvert = \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)$ (positif ici). Donc :

J \;=\; \frac{1}{2}\Bigl[\ln(1 + x^2)\Bigr]_0^1 \;=\; \frac{1}{2}\bigl(\ln 2 - \ln 1\bigr) \;=\; \frac{\ln 2}{2}.

Le facteur $\tfrac{1}{2}$ vient de l'ajustement de la constante : l'oublier donnerait le double de la vraie valeur.

Exercice 3, Substitution formelle avec bornes · niveau prépa

Énoncé. Calculer $K = \displaystyle\int_0^1 \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}\,\mathrm{d}x$ .

Solution. On pose $t = 1 + e^{x}$ , donc $\mathrm{d}t = e^{x}\,\mathrm{d}x$ : le numérateur est exactement $\mathrm{d}t$ . Bornes : $x = 0 \Rightarrow t = 1 + e^{0} = 2$ ; $x = 1 \Rightarrow t = 1 + e$ . L'intégrale se réécrit intégralement en $t$ :

K \;=\; \int_2^{\,1+e} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t \;=\; \bigl[\ln\lvert t\rvert\bigr]_2^{\,1+e} \;=\; \ln(1 + e) - \ln 2.

Ici $t = 1 + e^{x} > 0$ , donc $\ln\lvert t\rvert = \ln t$ sans souci. Remarque que la forme de départ était déjà $u'/u$ avec $u = 1 + e^{x}$ : on retrouve $K = \bigl[\ln(1 + e^{x})\bigr]_0^1$ , cohérent.

Exercice 4, Substitution trigonométrique · niveau MPSI / PCSI

Énoncé. Calculer $L = \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ (aire du quart de disque unité).

Solution. On pose $x = \sin(t)$ avec $t \in \bigl[0, \tfrac{\pi}{2}\bigr]$ ; $\sin$ y est de classe $\mathcal{C}^1$ et bijective. Alors $\mathrm{d}x = \cos(t)\,\mathrm{d}t$ . Bornes : $x = 0 \Rightarrow t = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow t = \tfrac{\pi}{2}$ . Sur cet intervalle $\cos(t) \geq 0$ , donc $\sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos(t)$ . D'où :

L \;=\; \int_0^{\pi/2} \cos(t)\cdot\cos(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_0^{\pi/2} \cos^2(t)\,\mathrm{d}t.

On linéarise avec $\cos^2(t) = \dfrac{1 + \cos(2t)}{2}$ :

L \;=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2t)}{2}\,\mathrm{d}t \;=\; \frac{1}{2}\left[t + \frac{\sin(2t)}{2}\right]_0^{\pi/2} \;=\; \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} \;=\; \frac{\pi}{4}.

On retrouve bien l'aire du quart du disque de rayon 1, égale à $\tfrac{\pi}{4}$ . Ce type de substitution est un grand classique du programme d'analyse de MPSI/PCSI, souvent croisé aux oraux ; on le replace dans l'ensemble du chapitre dans notre guide du programme de maths en MPSI.

Ce qu'il faut retenir

La formule $\int_a^b f(u(x))\,u'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,\mathrm{d}t$ , sous hypothèse $u$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $f$ continue.
La démonstration : dérivée d'une composée ( $F \circ u)' = f(u)\,u'$ , puis théorème fondamental. Elle explique d'où viennent les nouvelles bornes.
La méthode : repérer $u$ dont la dérivée $u'$ est présente, poser $t = u(x)$ , changer les bornes, tout réécrire en $t$ .
Les cas-types : $u'\,e^{u} \to e^{u}$ , $u'/u \to \ln\lvert u\rvert$ , $u'\,u^{n} \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$ , plus la substitution trigonométrique en prépa.
Les pièges : bornes non changées, facteur $u'$ oublié, $x$ résiduels, constante mal ajustée, valeur absolue du $\ln$ oubliée.
Le statut programme : reconnaissance de formes au bac, changement de variable formel en prépa (MPSI, PCSI, BCPST, MP2I).

Le changement de variable et l'intégration par parties sont les deux piliers du calcul intégral avancé : maîtriser le premier en Terminale, sous forme de reconnaissance, c'est arriver en Sup avec une longueur d'avance. Pour situer ce chapitre dans le reste du programme, notre tier list des chapitres de maths spé et le programme de spécialité maths de Terminale te donnent la carte complète.

Changement de variable en intégrale : méthode et exercices

La formule du changement de variable

Démonstration · la dérivée d'une composée

La méthode : repérer le motif u'·f(u)

Progressez en maths avec un prof particulier

Changer les bornes : l'étape qu'on oublie

Les cas-types à reconnaître au premier coup d'œil

La substitution trigonométrique · niveau prépa

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Changement de variable ou intégration par parties ?

5 erreurs classiques à éviter

4 exercices corrigés · Terminale → MPSI

Exercice 1, Reconnaissance de forme · niveau Terminale

Exercice 2, Forme u'/u · niveau Terminale

Exercice 3, Substitution formelle avec bornes · niveau prépa

Exercice 4, Substitution trigonométrique · niveau MPSI / PCSI

Ce qu'il faut retenir

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