Équation du second degré : discriminant et exercices

L'équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ est le premier « gros » chapitre calculatoire de la Première spé maths. Bonne nouvelle : elle se résout toujours avec le même outil, le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Tu calcules $\Delta$, tu regardes son signe, tu conclus. Trois cas, pas un de plus.

Cet article te donne tout : la forme du trinôme et l'identification des coefficients (là où la moitié des erreurs se jouent), la démonstration des formules par la forme canonique, les trois cas selon le signe de $\Delta$, la factorisation, les relations somme-produit, le signe du trinôme pour les inéquations, et 4 exercices corrigés de difficulté croissante. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir chaque année les mêmes fautes de signe : on les liste pour que tu les élimines dès la Première.

Le trinôme et ses coefficients

On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme :

La condition $a \neq 0$ est essentielle : si $a = 0$, il ne reste que $bx + c$, une équation du premier degré, et tout ce qui suit ne s'applique plus. Les trois nombres $a$, $b$, $c$ s'appellent les coefficients : $a$ est le coefficient de $x^2$, $b$ celui de $x$, et $c$ le terme constant.

Résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$, c'est chercher les valeurs de $x$ qui l'annulent. Ces valeurs s'appellent les racines du trinôme. Graphiquement, la courbe de $f$ est une parabole ; ses racines sont les abscisses des points où elle croise l'axe des $x$.

Le discriminant, celui qui décide de tout

À toute équation $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \neq 0$) on associe un nombre unique, le discriminant, noté $\Delta$ (la lettre grecque « delta ») :

Le mot n'est pas décoratif : discriminant vient de « discriminer », séparer. Son signe sépare les situations et te dit, sans résoudre, combien de racines réelles l'équation possède.

Retiens ce tableau par cœur : il est le cœur de tout le chapitre. Le reste (formules des racines, factorisation, signe) en découle mécaniquement.

Démonstration · d'où sortent les formules

Les formules des racines ne tombent pas du ciel : elles viennent de la forme canonique, obtenue par une identité remarquable. Comprendre cette démonstration une fois, c'est ne plus jamais confondre les formules.

Étape 1, on factorise par $a$. Comme $a \neq 0$, on met $a$ en facteur :

Étape 2, on complète le carré. On reconnaît le début d'une identité remarquable $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}\,x + \frac{b^2}{4a^2}$. On remplace $x^2 + \frac{b}{a}x$ par ce carré, en retranchant le terme en trop :

Étape 3, on regroupe la constante. On met $-\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}$ au même dénominateur $4a^2$ :

On obtient la forme canonique :

Étape 4, on résout $= 0$. Comme $a \neq 0$, l'équation équivaut à $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$. Tout se joue alors sur le signe de $\Delta$ (le dénominateur $4a^2 > 0$).

Si $\Delta > 0$, un carré égale un nombre positif, donc $x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, ce qui donne :

Les trois cas de résolution

Voici la synthèse opérationnelle. Une fois $\Delta = b^2 - 4ac$ calculé, tu appliques le cas correspondant.

Cas 1 · $\Delta > 0$ : deux racines

L'équation a deux racines réelles distinctes :

Cas 2 · $\Delta = 0$ : une racine double

L'équation a une seule racine, dite double :

On retrouve bien la formule générale avec $\sqrt{\Delta} = \sqrt{0} = 0$ : les deux racines se confondent.

Cas 3 · $\Delta < 0$ : aucune racine réelle

L'équation n'a pas de solution réelle. On ne peut pas calculer $\sqrt{\Delta}$ dans les réels. La conclusion attendue en Première est simplement : « $\Delta < 0$, donc l'équation n'admet aucune racine réelle. »

Factorisation et relations somme-produit

Une fois les racines connues, le trinôme se factorise. C'est souvent la vraie question du problème (résoudre une inéquation, simplifier une fraction, étudier un signe).

Ne jamais oublier le coefficient $a$ devant la parenthèse : $2x^2 - 6x + 4 = 2(x - 1)(x - 2)$, pas $(x-1)(x-2)$. Vérifie toujours en développant, ou en contrôlant le terme constant : $2 \times (-1) \times (-2) = 4$. ✓

Quand $\Delta \geq 0$, les deux racines vérifient deux relations très utiles, la somme $S$ et le produit $P$ :

Le signe du trinôme

Étudier le signe de $ax^2 + bx + c$ sert à résoudre les inéquations du second degré. La règle tient en une phrase : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé (celui de $-a$) entre les racines.

Moyen mnémotechnique : « signe de $a$ dehors ». Une parabole tournée vers le haut ($a > 0$) est positive « sur les côtés » et négative « au creux » entre ses racines. Un dessin rapide de la parabole vaut toutes les récitations.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et les khôlles de début de Première, les mêmes fautes reviennent. Nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X et CentraleSupélec, les traquent dès les premières séances de méthode.

1. Se tromper de signe sur $b$. Pour $x^2 - 3x + 2$, on a $b = -3$, donc $b^2 = 9$ (et pas $-9$). Un carré est toujours positif : oublier ça fausse $\Delta$ d'entrée.
2. Oublier le $-4ac$ ou son signe. $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $c$ est négatif, $-4ac$ devient positif et augmente $\Delta$. Remplace $a$, $b$, $c$ avec leurs parenthèses : $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2)$.
3. Diviser par $2a$ au lieu de tout diviser. La formule est $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ : le $2a$ divise tout le numérateur, pas seulement $\sqrt{\Delta}$. Une grande barre de fraction claire évite l'erreur.
4. Oublier le coefficient $a$ dans la factorisation. $3x^2 - \ldots$ se factorise en $3(x - x_1)(x - x_2)$. Le $3$ disparaît trop souvent en route.
5. Conclure « pas de solution » quand $\Delta = 0$. $\Delta = 0$ donne une racine (double), pas zéro. Seul $\Delta < 0$ donne « aucune racine réelle ».

4 exercices corrigés · difficulté croissante

Exercice 1 · cas $\Delta > 0$

Énoncé. Résoudre $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Solution. On identifie $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$. Discriminant :

$\Delta > 0$ : deux racines. Comme $\sqrt{9} = 3$ :

L'ensemble des solutions est $\left\{\tfrac{1}{2}\,;\, 2\right\}$. Contrôle par somme-produit : $S = \tfrac12 + 2 = \tfrac52 = -\tfrac{b}{a}$ ✓, $P = \tfrac12 \times 2 = 1 = \tfrac{c}{a}$ ✓.

Exercice 2 · cas $\Delta = 0$ et factorisation

Énoncé. Résoudre $9x^2 - 6x + 1 = 0$, puis factoriser le trinôme.

Solution. Ici $a = 9$, $b = -6$, $c = 1$. Discriminant :

$\Delta = 0$ : une racine double.

Factorisation : $9x^2 - 6x + 1 = 9\left(x - \tfrac13\right)^2 = (3x - 1)^2$. On reconnaît d'ailleurs l'identité remarquable $(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$. ✓

Exercice 3 · cas $\Delta < 0$

Énoncé. Résoudre $x^2 + x + 1 = 0$.

Solution. On a $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$. Discriminant :

$\Delta < 0$ : l'équation n'a aucune racine réelle. Le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$, et comme $a = 1 > 0$, il reste strictement positif pour tout réel $x$.

Exercice 4 · inéquation et signe du trinôme

Énoncé. Résoudre l'inéquation $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$.

Solution. On étudie le signe de $f(x) = -x^2 + 3x + 4$, avec $a = -1$, $b = 3$, $c = 4$. Discriminant :

Racines :

Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines, et positif entre elles. On veut $f(x) \geq 0$ : la solution est donc l'intervalle entre les racines, bornes comprises.

L'ensemble des solutions est $[-1\,;\,4]$.

Ces automatismes du second degré sont la base d'à peu près toute l'analyse qui suit. Ils reviennent en force en Terminale, notamment dans le calcul de dérivées et l'étude du signe d'une dérivée, où résoudre $f'(x) = 0$ passe très souvent par un discriminant.

Ce qu'il faut retenir

• La forme $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ ; identifie $a$, $b$, $c$ avec leur signe avant tout calcul.
• Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ décide de tout : $\Delta > 0$ (2 racines), $\Delta = 0$ (1 racine double), $\Delta < 0$ (aucune racine réelle).
• Les racines $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ quand $\Delta > 0$ ; $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ quand $\Delta = 0$.
• La démonstration par la forme canonique explique pourquoi $\Delta < 0$ n'a pas de solution : un carré n'est jamais négatif.
• Somme-produit : $S = -\dfrac{b}{a}$, $P = \dfrac{c}{a}$ ; factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$ sans oublier le $a$.
• Signe du trinôme : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe opposé entre elles.

Le second degré s'appuie directement sur les identités remarquables vues au collège et consolidées en 2de : c'est $\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2$ qui rend possible la forme canonique. Si ces automatismes sont fragiles, reprends-les d'abord.

Pour situer ce chapitre dans l'année, consulte notre panorama du programme de Première spécialité maths et, en amont, notre tour d'horizon du programme de Seconde où se posent les bases du calcul littéral.